二阶线性微分方程解的结构

解的结构

要求解二阶非齐次线性微分方程, 则需要先讨论齐次的情况

二阶齐次线性微分方程

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$

以下设 $P,Q$（及非齐次项 $f$）在同一个区间 $I$ 连续；若原式最高阶系数不为 $1$，须在其不为零的区间先归一化。有以下定理成立

定理1

如果函数$y_{1}(x)$与$y_{2}(x)$是上述二阶齐次线性微分方程的两个解, 则其线性组合 $y$ 也是它的解

$$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x),\ C_{1},C_{2} \in R$$

但不一定是通解(或者说这个通解不能覆盖所有解的可能情况), 所以是个平凡的结论

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定理2

若常数关系 $c_1y_1+c_2y_2\equiv0$ 只在 $c_1=c_2=0$ 时成立，称两解线性无关；此时它们构成基本解组，线性组合 $y$ 即为通解。应使用朗斯基行列式判定，避免在 $y_2$ 的零点直接取比值

$$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x),\ C_{1},C_{2} \in R$$

定理2可推广至高阶齐次线性微分方程 ^bec305

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在一阶线性微分方程中已经看到, 一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分组成: 对应的一阶齐次线性微分方程的通解和其本身的一个特解. 实际上高阶非齐次线性微分方程的通解具有同样的结构

定理3

设$y^*(x)$是二阶非齐次线性方程的一个特解, $Y(x)$是对应二阶齐次线性方程的通解, 则

$$y=Y(x)+y^*(x)$$

是二阶非齐次线性方程的通解

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定理4

设二阶非齐次线性方程右边$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$, 而$y_{1}^*(x)$,$y_{2}^*(x)$分别为

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{1}(x)$$

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{2}(x)$$

的特解, 则其特解的线性组合为原方程的一个特解:

$$y_{1}^*(x)+y_{2}^*(x)$$

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定理5

如果已知$y_{1}^*(x)$,$y_{2}^*(x)$为非齐次线性方程任意两个解，则两个解之差一定为对应齐次线性微分方程的解

这个结论基于线性微分方程的线性性质和叠加原理

1. 假设非齐次线性方程为：

$$L(y) = f(x),$$

其中$L$是线性微分算子，$f(x)$是非齐次项。
2. 如果$y_1^*(x)$和$y_2^*(x)$是此方程的解，则有：

$$L(y_1^*) = f(x), \quad L(y_2^*) = f(x).$$

3. 根据线性微分算子的性质，对于任何两个函数$u(x)$和$v(x)$以及常数$a$和$b$，有：

$$L(au + bv) = aL(u) + bL(v).$$

4. 取$u(x) = y_1^*(x)$, $v(x) = y_2^*(x)$, 并设$a = 1$, $b = -1$，我们得到：

$$L(y_1^* - y_2^*) = L(y_1^*) - L(y_2^*) = f(x) - f(x) = 0.$$

因此，$y_1^*(x) - y_2^*(x)$是对应齐次线性微分方程$L(y) = 0$的解。

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求解

1. 齐次方程的求解：常系数情形可用特征方程法；一般变系数方程不能直接套常系数特征方程。
2. 非齐次方程的求解：可采用常数变易法、不定系数法或格林函数法。

常数变易法

如果已知齐次方程的通解

$$y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$$

则将 $C_1$, $C_2$ 视为关于 $x$ 的函数 $C_1(x)$, $C_2(x)$，代入非齐次方程求解。

最终得非齐次方程通解为

$$y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}-y_{1}\int \dfrac{y_{2}f}{W} \, dx +y_{2}\int \dfrac{y_{1}f}{W} \, dx$$

$$W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix}$$

示例

Example

考虑一个二阶齐次线性微分方程

$$y''-2y'+y = 0$$

方程的一个解为$y_{1}(x)=e^{ x }$, 求以下方程的通解

$$y''-2y'+y=\dfrac{1}{x}e^{ x }$$

解：在 $I\subset(0,\infty)$ 或 $I\subset(-\infty,0)$ 上令 $y=e^xu$，代入得 $e^xu''=e^x/x$，即 $u''=1/x$。积分两次：

$$u'=\ln|x|+C_2,\qquad u=x\ln|x|-x+C_2x+C_1.$$

因此

$$y=e^x(x\ln|x|-x)+C_1e^x+C_2xe^x.$$

齐次基本解为 $e^x,xe^x$，其 Wronskian 为 $e^{2x}\ne0$。注意 $u$ 本身不是原方程的特解，原方程特解是 $e^xu$；还必须保留齐次解的两个独立常数。