变系数的线性微分方程,一般说来都是不容易求解的。但是有些特殊的变系数线性微分方程,则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程,因而容易求解,欧拉方程就是其中的一种
n=0∑npnxny(n)=xny(n)+p1xn−1y(n−1)+⋯+pn−1xy′+pny=f(x)
求解幂指函数问题通常会用到指数函数代换, 因为指数函数起着连接李群和李代数的桥梁作用。在这个框架下, y=et代表了从李代数(在这里可以粗略地认为是微分算子)到李群(在这里是指数函数形成的群)的指数映射。这种映射能将线性微分算子的性质转换为更易处理的代数问题。
换元y=et, 则y(n)=tnet
欧拉方程的一个显著特点是其系数是 x 的幂次函数。因此,我们可以通过以下变数替换将其化为常系数微分方程: 设 t=lnx,则 x=et。 利用链式法则:
dxd=dtd⋅dxdt=dtd⋅x1
更高阶导数同理:
dxndny=(x1dtd)ny=x−ndtndny
将 t=lnx 代入原方程,并利用上述导数关系,欧拉方程可以重写为一个常系数的微分方程。 设 z(t)=y(et),则 z(t) 满足的方程形式为:
n=0∑npne(n−n)tdtndnz=f(et)
由于 e(n−n)t=1,方程简化为:
n=0∑npndtndnz=f(et)
这时,我们得到一个常系数线性微分方程。
对于齐次方程 $$\sum_{n=0}^{n} p_{n} \frac{d^n z}{dt^n} = 0$$我们可以假设解的形式为 z=ert,代入得到特征方程:
n=0∑npnrnert=0
该特征方程为 p0rn+p1rn−1+⋯+pn−1r+pn=0,解出 r 的值,即为齐次方程的解。
非齐次方程 $$\sum_{n=0}^{n} p_{n} \frac{d^n z}{dt^n} = f(e^t)$$ 可以通过待定系数法或变分参数法求解。
求解 z(t) 之后,通过 z(t)=y(et),将解转换回原变量 x,即 y(x)=z(lnx)。
考虑具体方程:
x2y′′+3xy′+y=0
- 变数替换:t=lnx,y(x)=z(t)
- 导数变换:y′=x1z′, y′′=x21(z′′−z′)
- 方程变为:
(e2t)e2t1(z′′−z′)+3etet1z′+z=z′′+2z′+z=0
- 解齐次方程:假设 z=ert
r2+2r+1=0⟹(r+1)2=0⟹r=−1
所以齐次解为 z(t)=(c1+c2t)e−t - 回到原变量:
y(x)=(c1+c2lnx)x1