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求解

Cyletix2025年1月2日大约 3 分钟

变系数的线性微分方程,一般说来都是不容易求解的。但是有些特殊的变系数线性微分方程,则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程,因而容易求解,欧拉方程就是其中的一种

欧拉方程

n=0npnxny(n)=xny(n)+p1xn1y(n1)++pn1xy+pny=f(x) \sum_{n=0}^{n} p_{n}x^{n}y^{(n)}=x^{n}y^{(n)}+p_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_{n}y=f(x)

求解幂指函数问题通常会用到指数函数代换, 因为指数函数起着连接李群和李代数的桥梁作用。在这个框架下, y=ety=e^{ t }代表了从李代数(在这里可以粗略地认为是微分算子)到李群(在这里是指数函数形成的群)的指数映射。这种映射能将线性微分算子的性质转换为更易处理的代数问题。

求解

换元y=ety=e^{ t }, 则y(n)=tnety^{(n)}=t^{n}e^{ t }

欧拉方程的一个显著特点是其系数是 xx 的幂次函数。因此,我们可以通过以下变数替换将其化为常系数微分方程: 设 t=lnxt = \ln x,则 x=etx = e^{t}。 利用链式法则:

ddx=ddtdtdx=ddt1x \frac{d}{dx} = \frac{d}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt} \cdot \frac{1}{x}

更高阶导数同理:

dnydxn=(1xddt)ny=xndnydtn \frac{d^n y}{dx^n} = \left(\frac{1}{x} \frac{d}{dt}\right)^n y = x^{-n} \frac{d^n y}{dt^n}

替换并简化方程

t=lnxt = \ln x 代入原方程,并利用上述导数关系,欧拉方程可以重写为一个常系数的微分方程。 设 z(t)=y(et)z(t) = y(e^t),则 z(t)z(t) 满足的方程形式为:

n=0npne(nn)tdnzdtn=f(et) \sum_{n=0}^{n} p_{n} e^{(n-n)t} \frac{d^n z}{dt^n} = f(e^t)

由于 e(nn)t=1e^{(n-n)t} = 1,方程简化为:

n=0npndnzdtn=f(et) \sum_{n=0}^{n} p_{n} \frac{d^n z}{dt^n} = f(e^t)

这时,我们得到一个常系数线性微分方程。

求解常系数线性微分方程

齐次方程的求解

对于齐次方程 $$\sum_{n=0}^{n} p_{n} \frac{d^n z}{dt^n} = 0$$我们可以假设解的形式为 z=ertz = e^{rt},代入得到特征方程:

n=0npnrnert=0 \sum_{n=0}^{n} p_{n} r^n e^{rt} = 0

该特征方程为 p0rn+p1rn1++pn1r+pn=0p_{0}r^n + p_{1}r^{n-1} + \cdots + p_{n-1}r + p_{n} = 0,解出 rr 的值,即为齐次方程的解。

非齐次方程的求解

非齐次方程 $$\sum_{n=0}^{n} p_{n} \frac{d^n z}{dt^n} = f(e^t)$$ 可以通过待定系数法或变分参数法求解。

回到原变量

求解 z(t)z(t) 之后,通过 z(t)=y(et)z(t) = y(e^t),将解转换回原变量 xx,即 y(x)=z(lnx)y(x) = z(\ln x)

示例

考虑具体方程:

x2y+3xy+y=0 x^2 y'' + 3x y' + y = 0

  1. 变数替换:t=lnxt = \ln xy(x)=z(t)y(x) = z(t)
  2. 导数变换:y=1xzy' = \frac{1}{x} z', y=1x2(zz)y'' = \frac{1}{x^2} (z'' - z')
  3. 方程变为:

    (e2t)1e2t(zz)+3et1etz+z=z+2z+z=0 (e^{2t}) \frac{1}{e^{2t}} (z'' - z') + 3e^t \frac{1}{e^t} z' + z = z'' + 2z' + z = 0

  4. 解齐次方程:假设 z=ertz = e^{rt}

    r2+2r+1=0    (r+1)2=0    r=1 r^2 + 2r + 1 = 0 \implies (r + 1)^2 = 0 \implies r = -1

    所以齐次解为 z(t)=(c1+c2t)etz(t) = (c_1 + c_2 t) e^{-t}
  5. 回到原变量:

    y(x)=(c1+c2lnx)1x y(x) = (c_1 + c_2 \ln x) \frac{1}{x}