定义

一阶线性微分方程可定义为以下标准形式：

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

其中，$y$ 是要求解的函数，$x$ 是独立变量，$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是关于 $x$ 的已知函数。

性质

• 一阶：方程中最多只涉及到函数 $y$ 的一阶导数 $\frac{dy}{dx}$
• 线性：函数 $y$ 和它的导数 $\frac{dy}{dx}$ 均以线性的方式出现。

通解

一阶线性微分方程通解

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推导

一阶线性微分方程的解法通常涉及到寻找一个积分因子，这可以将微分方程转换为一个容易积分的形式。

若$Q(x)=0$, 则得到对应于非齐次线性方程的齐次线性方程

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$

这个齐次线性方程是可分离变量的

$$\frac{dy}{y}=-P(x)dx$$

$$ln|y|=-\int P(X)dx$$

$$y=Ce^{ -\int P(X) \, dx }$$

为了求得特解，我们将$C$视为一个待求的变量函数${} u(x)$，而不是一个常数。将 $y​_{h} =u(x)e^{ \int −P(x) \, dx }$ 代入原非齐次方程:

$$u'(x)e^{ -\int P(x) \, dx }-u(x)P(x)e^{ -\int P(x) \, dx }+P(x)u(x)e^{ -\int P(x) \, dx }=Q(x)$$

$$u'(x)=Q(x)e^{ \int P(x) \, dx }$$

解得

$$u(x)=\int Q(x)e^{ \int P(x) \, dx } \, dx + C$$

将上式带回齐次线性方程的通解

$$y=e^{ -\int P(x) \, dx }\Big(\int Q(x)e^{ \int P(x) \, dx } \, dx +C\Big)$$

整理后得一阶线性微分方程通解

$$y=Ce^{ -\int P(x) \, dx }+e^{ -\int P(x) \, dx }\int Q(x)e^{ \int P(x) \, dx } \, dx$$

上式第一项为对应齐次线性方程的通解, 第二项为非齐次线性方程本身的一个特解的通解

伯努利方程

伯努利方程