齐次方程

定义

如果一阶微分方程可化为下列形式, 那么就称这个方程为一阶齐次方程.

$$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$$

即在齐次方程中引进新的未知函数可将其化为可分离变量的微分方程

齐次:
齐次
对于常微分方程，齐次指的是所有项都涉及未知函数及其导数。
例如，一阶常微分方程的形式为 $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$，它是齐次的，如果满足 $f(tx, ty) = f(x, y)$ 对所有非零实数 $t$ 都成立，即函数 $f$ 在自变量 $(x, y)$ 缩放变换到 $(tx, ty)$ 时, 方程形式保持不变。因为求导也是线性运算

一般意义的齐次常微分方程:

$$a_1(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_2(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\dots+a_n(x)\frac{d^0y}{dx^0}=0$$

计算

设 $u=\frac{y}{x}$，即 $y=ux$，由乘积法则得 $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$。代入 $\frac{dy}{dx}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$：

$$u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u) \implies \frac{du}{\varphi(u)-u}=\frac{dx}{x}$$

此时已化为可分离变量的微分方程，两边积分即可。

可化为齐次的方程

参考相关文档

解的性质

齐次方程的一个重要性质是其解的叠加原理。对于线性齐次方程，如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是解，则它们的任何线性组合 $C_1 \cdot y_1(x) + C_2 \cdot y_2(x)$ 也是解($C_1$和$C_2$是常数)