齐次方程

定义

如果一阶微分方程可化为下列形式, 那么就称这个方程为一阶齐次方程.

$$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$$

即在齐次方程中引进新的未知函数可将其化为可分离变量的微分方程

齐次:
齐次
本页的一阶齐次指右端对 $(x,y)$ 为零次齐次；这与线性方程的“右端为零”是两种概念。
例如，一阶常微分方程的形式为 $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$，它是齐次的，如果满足 $f(tx, ty) = f(x, y)$ 对所有非零实数 $t$ 都成立，即函数 $f$ 在自变量 $(x, y)$ 缩放变换到 $(tx, ty)$ 时, 方程形式保持不变。这是缩放不变性，不意味着方程对未知函数线性

另一种概念：齐次线性常微分方程

$$a_1(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_2(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\dots+a_n(x)\frac{d^0y}{dx^0}=0$$

计算

设 $u=\frac{y}{x}$，即 $y=ux$，由乘积法则得 $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$。代入 $\frac{dy}{dx}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$：

$$u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u) \implies \frac{du}{\varphi(u)-u}=\frac{dx}{x}$$

此时已化为可分离变量的微分方程，两边积分即可。

可化为齐次的方程

参考相关文档

解的性质

叠加原理只适用于线性齐次方程。对于线性齐次方程，如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是解，则它们的任何线性组合 $C_1 \cdot y_1(x) + C_2 \cdot y_2(x)$ 也是解($C_1$和$C_2$是常数)

代换在 $x\ne0$ 的区间进行；分离除以 $\varphi(u)-u$ 前，须保留方程 $\varphi(c)=c$ 对应的直线解 $y=cx$。例如 $y'=(y/x)^2$ 是一阶齐次方程但不是线性方程；$y=x$ 是解，$y=2x$ 不是解，所以不能套用叠加原理。