微分方程基本概念

微分方程描述了一个未知函数与其导数之间的关系

1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。如果方程中包含的是偏导数，那么这个方程被称为偏微分方程；如果只包含普通导数，则是常微分方程。
2. 阶数：微分方程的阶数是方程中出现的最高导数的阶数。例如，含有二阶导数的方程是二阶微分方程。
3. 线性与非线性：如果方程中的未知函数及其导数只以一次线性组合出现，系数仅依赖自变量，则称为线性微分方程；否则，它是非线性的。
4. 解：微分方程的解是满足方程的函数。对于常微分方程，解通常是一个表达式；对于偏微分方程，解可能更为复杂。
5. 初始条件和边界条件：解决微分方程时，通常需要初始条件或边界条件；常微分方程也有边值问题，演化型偏微分方程往往同时需要初值和边值来确定特定的解。
6. 应用：微分方程在物理学（如牛顿定律）、工程学（如热力学和流体动力学）、生物学（如种群动态）等领域有广泛应用。
7. 数值方法：对于无法找到解析解的微分方程，可以使用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法）来近似解决。

解是否存在、是否唯一

对 $y'=f(x,y)$、$y(x_0)=y_0$，常用的局部充分条件是：$f$ 在解点附近连续，且对 $y$ 局部 Lipschitz（例如 $f_y$ 在附近连续）。则存在唯一局部解。局部存在不保证全局存在：$y'=y^2,y(0)=1$ 的解 $1/(1-x)$ 在 $x=1$ 发散。仅有连续性也不足以保证唯一：$y'=2\sqrt{|y|},y(0)=0$ 除零解外，还可在任意 $c\ge0$ 前取零、之后取 $(x-c)^2$。

线性方程在最高阶系数非零且归一化系数连续的整个区间上，给定相应阶数的初值可唯一确定解。参见 MIT 初值存在唯一性讲义。