从这节开始将讨论二阶以上的微分方程. 如果高阶可以降阶到一阶,就可以用一阶微分方程的求解方法 以下是三个类型的容易降阶的高阶微分方程组

1. $y^{(n)}=f(x)$
2. $y''=f(x,y')$
3. $y''=f(y,y')$

---

1. $y^{(n)}=f(x)$

这是一个已经分离变量的微分方程, 连续求积分n次, 即可解得

$$y^{n-1}=\int f(x) \, dx+C_{1}$$

$$y^{n-2}=\int \Big[\int f(x) \, dx +C_{1} \Big] \, dx +C_{2}$$

$$...$$

过于无聊

---

2. $y''=f(x,y')$

第一积分法

设 $y'=p$ , 则 $y''=p'$ 带入原方程得

$$p'=f(x,p)$$

这是一个一阶线性微分方程, 参照对应解法, 设通解为$p=\phi(x,C_{1})$ 但是$p=\frac{dy}{dx}$ ,带入后积分得解

$$y=\int \phi(x,C_{1}) \, dx+C_{2}$$

示例

+

悬链线的推导

---

3. $y''=f(y,y')$

同样可以使用第一积分法, 但原方程不显含x, 需要改写为p对y的函数. 设$y'=\frac{dy}{dx}=p$ , 则

$$y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$$

这样原方程就变成p关于y的一阶微分方程

$$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$$

设他的通解为

$$p=\phi(y,C_1)=y'=\frac{dy}{dx}$$

分离变量并积分得

$$\int \frac{dy}{\phi(y,C_1)}=x+C_2$$

示例

+

考虑方程 $y'' = y$, 可以用替换变量法进行求解: 设 $y' = p$, 则 $y'' = p \frac{dp}{dy}$, 方程变为:

$$p \frac{dp}{dy} = y \implies p dp = y dy$$

$$\frac{p^2}{2} = \frac{y^2}{2} + C \implies p^2 = y^2 + 2C$$

$$(y')^2 = y^2 + 2C \implies y' = \sqrt{y^2 + 2C}$$

$$\int \frac{dy}{\sqrt{y^2 + 2C}} = x + D$$

这个积分的结果涉及反双曲正弦:

$$\sinh^{-1} \left(\frac{y}{\sqrt{2C}}\right) = x + D$$

$$y = \sqrt{2C} \sinh(x + D)$$

根据初始条件确定 $C$ 和 $D$ 的值.