简介

伯努利方程是一阶非线性微分方程, 其标准形式为:

$$y'+P(x)=Q(x)y^n$$

可以通过变量代换将其转化为一阶线性微分方程来求解.

求解

1. 标准化方程:

如果不是标准形式, 先将伯努利方程重写为标准形式:

$$y' + P(x)y = Q(x)y^n$$

2. 变量代换:

进行量代换 $z = y^{1-n}$, 则有

$$y = z^{\frac{1}{1-n}}$$

$$\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$$

3. 代入方程:

将 $\frac{dy}{dx}$ 和 $y$ 代入原方程:

$$(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$$

简化后得到:

$$(1-n)y^{-n}y' = z' = Q(x) - P(x)z$$

4. 重写为线性方程:

现在个方程变成了关于 $z$ 的一阶线性微分方程:

$$\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$$

5. 求解线性方程:

对这一阶线性微分方程使用标准方法求解. 先找到积分因子 $\mu(x)$, 满足:

$$\mu(x) = e^{\int (1-n)P(x)dx}$$

6. 求出 $z$ 的解:

将积分因子 $\mu(x)$ 乘到原方程两侧:

$$\mu(x)\frac{dz}{dx} + \mu(x)(1-n)P(x)z = \mu(x)(1-n)Q(x)$$

左侧为:

$$\frac{d}{dx} \left[ \mu(x)z \right] = \mu(x)(1-n)Q(x)$$

7. 积分:

对两边积分, 得到:

$$\mu(x)z = \int \mu(x)(1-n)Q(x)dx + C$$

所以

$$z = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)(1-n)Q(x)dx + C \right)$$

8. 还原 $y$ 的解:

通过变量代换 $z = y^{1-n}$, 得到 $y$ 的解:

$$\begin{align} y &= \left( \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)(1-n)Q(x)dx + C \right) \right)^{\frac{1}{1-n}}\\ &=\left( e^{\int (1-n)P(x)dx}\left( \int e^{\int (1-n)P(x)dx}(1-n)Q(x)dx + C \right)\right)^{\frac{1}{1-n}} \end{align}$$

示例

考虑方程:

$$y' + y = xy^2$$

令 $z = y^{1-2} = y^{-1}$, 即 $y = \frac{1}{z}$, 并求导数 $y' = -\frac{1}{z^2}z'$.

代入方程:

$$-\frac{1}{z^2}z' + \frac{1}{z} = x \left( \frac{1}{z} \right)^2$$

$$-\frac{1}{z^2}z' + \frac{1}{z} = \frac{x}{z^2}$$

化简为线性方程:

$$-z' + z = x$$

这是一阶线性方程, 求积分因子:

$$\mu(x) = e^{\int -dx} = e^{-x}$$

则

$$e^{-x}z' - e^{-x}z = xe^{-x}$$

积分, 左侧变为:

$$\frac{d}{dx} \left[ e^{-x}z \right] = xe^{-x}$$

对两边积分:

$$e^{-x}z = \int xe^{-x} dx$$

分部积分:

$$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx = -xe^{-x} + e^{-x} + C$$

所以:

$$e^{-x}z = -xe^{-x} + e^{-x} + C$$

$$z = -x + 1 + Ce^{x}$$

还原 $y$ 的解

$$y = \frac{1}{z} = \frac{1}{-x + 1 + Ce^{x}}$$