伯努利方程

简介

伯努利方程是一阶非线性微分方程, 其标准形式为:

$$y'+P(x)y=Q(x)y^n$$

可以通过变量代换将其转化为一阶线性微分方程来求解.

求解

1. 标准化方程

如果不是标准形式, 先将伯努利方程重写为标准形式:

$$y' + P(x)y = Q(x)y^n$$

2. 变量代换

进行变量代换 $z = y^{1-n}$, 则有

$$y = z^{\frac{1}{1-n}}$$

$$\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$$

3. 化为线性方程

将原方程两边乘以 $(1-n)y^{-n}$：

$$(1-n)y^{-n}y' + (1-n)P(x)y^{1-n} = (1-n)Q(x)$$

代入 $z = y^{1-n}$ 与 $z' = (1-n)y^{-n}y'$，得到关于 $z$ 的一阶线性微分方程：

$$\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$$

4. 求解线性方程

对这一阶线性微分方程使用标准方法求解. 先找到积分因子 $\mu(x)$:

$$\mu(x) = e^{\int (1-n)P(x)\,dx}$$

5. 求出 $z$ 的解

将积分因子 $\mu(x)$ 乘到方程两侧:

$$\mu(x)\frac{dz}{dx} + \mu(x)(1-n)P(x)z = \mu(x)(1-n)Q(x)$$

左侧可化为:

$$\frac{d}{dx} \left[ \mu(x)z \right] = \mu(x)(1-n)Q(x)$$

对两边积分:

$$\mu(x)z = \int \mu(x)(1-n)Q(x)\,dx + C$$

所以:

$$z = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)(1-n)Q(x)\,dx + C \right)$$

6. 还原 $y$ 的解

通过变量代换 $z = y^{1-n}$, 得到 $y$ 的解:

$$y = \left( \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)(1-n)Q(x)\,dx + C \right) \right)^{\frac{1}{1-n}}$$

示例

考虑方程:

$$y' + y = xy^2$$

令 $z = y^{1-2} = y^{-1}$, 即 $y = \frac{1}{z}$, 并求导数 $y' = -\frac{1}{z^2}z'$.

代入方程:

$$-\frac{1}{z^2}z' + \frac{1}{z} = x \left( \frac{1}{z} \right)^2$$

$$-\frac{1}{z^2}z' + \frac{1}{z} = \frac{x}{z^2}$$

化简为线性方程:

$$-z' + z = x$$

这是一阶线性方程, 求积分因子:

$$\mu(x) = e^{\int -dx} = e^{-x}$$

则

$$e^{-x}z' - e^{-x}z = -xe^{-x}$$

积分, 左侧变为:

$$\frac{d}{dx} \left[ e^{-x}z \right] = -xe^{-x}$$

对两边积分:

$$e^{-x}z = \int -xe^{-x} dx$$

分部积分:

$$\int -xe^{-x} dx = xe^{-x} + e^{-x} + C$$

所以:

$$e^{-x}z = xe^{-x} + e^{-x} + C$$

$$z = x + 1 + Ce^{x}$$

还原 $y$ 的解

$$y = \frac{1}{z} = \frac{1}{x + 1 + Ce^{x}}$$