欧拉公式

欧拉公式是--复分析--中的一个基本公式，它建立了复指数函数与三角函数之间的联系

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

其中，$e$ 是自然对数的底数，$i$ 是虚数单位，$\theta$ 是实数。

以下两个式子也叫做欧拉公式, 他们可以互相推导.

$$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$

$$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$$

推导

由复指数、正弦和余弦的绝对收敛幂级数，将偶数项与奇数项分组：

$$e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}=\cos\theta+i\sin\theta.$$

应用

欧拉公式把单位复数群 $U(1)=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$ 的元素写成 $e^{i\theta}$。在矩阵李群中，指数映射把李代数中的矩阵 $A$ 映为群元素 $e^A$；它不是把李代数元素本身表示为矩阵指数，也不能据此断言任意李群的指数映射都为满射。例如 $\mathfrak{su}(2)$ 与三维旋转的联系需要对应的矩阵指数和群表示，不能直接由标量欧拉公式代替。