傅里叶变换把时域函数分解为不同频率的正弦（复指数）分量的叠加，是时域与频域之间的坐标变换。

定义

一维傅里叶正变换(简称傅氏变换)

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

• 函数 $F(\omega)$ 称为 $f(t)$ 的像函数, 记为 $F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]$；其中 $\omega$ 为角频率，与频率 $f$ 满足 $\omega=2\pi f$。也常写作

$$\hat{f}(f)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-2\pi i f t}\,dt$$

逆变换

一维傅里叶逆变换(简称傅氏逆变换)

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$$

• 其中函数 $f(t)$ 称为 $F(\omega)$ 的像原函数, 记为 $f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]$

上面两式中的反常积分是柯西意义下的主值，在 $f(t)$ 的间断点处，傅里叶逆变换左端应为 $[f(t+0)+f(t-0)]/2$

意义

傅里叶变换用一组正交的复指数 $e^{i\omega t}$ 重建信号。$e^{i\omega t}$（由欧拉公式展开为正余弦）是基本模式，$F(\omega)=\lvert F(\omega)\rvert e^{i\phi}$ 是该模式的振幅与相位（辐长与辐角），即特征值。频域上每一点浓缩了时域中对应模式的整体信息，从时域到频域相当于在 Hilbert 空间做一次坐标变换，所有分量的线性组合即逆变换。

由傅里叶逆变换，可以说明非周期函数与周期函数一样，也是由许多不同频率的正、余弦分量合成，所不同的是，非周期函数包含了从零到无穷大的所有频率分量。而 $F(\omega)$ 是 $f(t)$ 中各频率分量的分布密度，因此称 $F(\omega)$ 为频谱密度函数（简称频谱或者连续频谱），称 $\left|F(\omega)\right|$ 为振幅谱， $\arg F(\omega)$ 为相位谱。由于傅氏变换这种特殊的物理含义，因而在工程实际中得到广泛的应用。

变种

傅里叶变换有几个常见的变种：

1. 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）：适用于离散时间和离散频率的信号处理，如数字音频和图像处理。
2. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）：是 DFT 的一种高效算法，显著降低计算复杂度，广泛用于实时信号处理和频谱分析。
3. 带通滤波器：通过限制信号在某个频率范围内的能量实现滤波，常见的有高通滤波器和低通滤波器。
4. 短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）：用于分析非平稳信号，将信号分成短时间窗口分别做傅里叶变换。

例题

例题：求矩形脉冲函数 $f(t) = \begin{cases} 1, & |t| \leqslant \delta, \\ 0, & |t| > \delta \end{cases}$ ( $\delta > 0$ ) 的傅氏变换及傅氏积分表达式.

解：
由傅里叶变换有$$\begin{array}{r l} \mathcal {F} [ f (t) ] & = F (\omega) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) \mathrm{e}^{- \mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} t = \int_{- \delta}^{\delta} \mathrm{e}^{- \mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} t \ & = \frac {1}{- \mathrm{j} \omega} \mathrm{e}^{- \mathrm{j} \omega t} \Bigg |_{- \delta}^{\delta} = - \frac {1}{\mathrm{j} \omega} (\mathrm{e}^{- \mathrm{j} \omega \delta} - \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega \delta}) \ & = 2 \frac {\sin \delta \omega}{\omega} = 2 \delta \frac {\sin \delta \omega}{\delta \omega}. \end{array}$$

振幅谱为$$\mid F (\omega) \mid = 2 \delta \mid \frac {\sin \delta \omega}{\delta \omega} \mid .$$

相位谱为$$\arg F (\omega) = \left{ \begin{array}{l l} 0, & \frac {2 n \pi}{\delta} \leqslant | \omega | \leqslant \frac {(2 n + 1) \pi}{\delta}, \ \pi , & \frac {(2 n + 1) \pi}{\delta} < | \omega | < \frac {(2 n + 2) \pi}{\delta}, \end{array} \right.$$

$$n = 0, 1, 2, \dots .$$

其图形如图所示.

(a)

(b)

(c)

再根据傅里叶逆变换(注意其中间断点的取值) , 即 $f(t)$ 的傅氏积分表达式为$$\begin{array}{r l} f (t) & = \frac {1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac {2 \sin \delta \omega}{\omega} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} \omega \ & = \frac {1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac {2 \sin \delta \omega}{\omega} \cos \omega t \mathrm{d} \omega + \frac {\mathrm{j}}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac {2 \sin \delta \omega}{\omega} \sin \omega t \mathrm{d} \omega \ & = \frac {2}{\pi} \int_{0}^{+ \infty} \frac {\sin \delta \omega}{\omega} \cos \omega t \mathrm{d} \omega = \left{ \begin{array}{l l} 1, & | t | < \delta , \ 1 / 2, & | t | = \delta , \ 0, & | t | > \delta . \end{array} \right. \end{array}$$

上式中令 $t = 0$ 可得重要积分公式$$\int_{0}^{+ \infty} \frac {\sin x}{x} \mathrm{d} x = \frac {\pi}{2}.$$

例题：已知 $f(t)$ 的频谱为 $F(\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| \leqslant \alpha \\ 0, & |\omega| > \alpha, \end{cases}$ ( $\alpha > 0$ ), 求 $f(t)$ .

解：

$$\begin{array}{r l} f (t) & = \mathcal {F}^{- 1} [ F (\omega) ] = \frac {1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} \omega \\ & = \frac {1}{2 \pi} \int_{- \alpha}^{\alpha} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} \omega = \frac {\sin \alpha t}{\pi t} = \frac {\alpha}{\pi} \cdot \frac {\sin \alpha t}{\alpha t}. \end{array}$$

记 $Sa(t) = \frac{\sin t}{t}$ ，则 $f(t) = \frac{\alpha}{\pi} Sa(\alpha t)$ ，当 $t = 0$ 时，定义 $f(0) = \frac{\alpha}{\pi}$ . 信号 $\frac{\alpha}{\pi} Sa(\alpha t)$ （或者 $Sa(t)$ ）称为抽样信号，由于它具有非常特殊的频谱形式，因而在连续时间信号的离散化、离散时间信号的恢复以及信号滤波中发挥了重要的作用. 其图形如图所示.

(a)

(b)

^80c0b8

例题：求单边指数衰减函数 $f (t) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-\alpha t}, & t \geqslant 0, \\ 0, & t < 0 \end{cases} (\alpha > 0)$ 的傅氏变换，并画出频谱图.

解：

$$\begin{array}{r l} F (\omega) & = \mathcal {F} [ f (t) ] = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) \mathrm{e}^{- \mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} t \\ & = \int_{0}^{+ \infty} \mathrm{e}^{- (\alpha + \mathrm{j} \omega) t} \mathrm{d} t = \frac {1}{\alpha + \mathrm{j} \omega} = \frac {\alpha - \mathrm{j} \omega}{\alpha^ {2} + \omega^ {2}}. \end{array}$$

振幅谱为$$\mid F (\omega) \mid = \frac {1}{\sqrt {\alpha^ {2} + \omega^ {2}}},$$

相位谱为$$\arg F (\omega) = - \arctan (\omega / \alpha),$$

其图形如图所示.

(a)

(b)

(c)

^823901