指数函数

简介

非平凡指数函数是基础的超越函数，可通过有理指数的连续延拓、幂级数或微分方程等途径构造。“只能通过微积分构造”并非必要限定；一般实指数不能用有限次普通四则与开方统一表达。

定义

$$y=a^x$$

其中 $a>0$ 为底数、$x\in\mathbb R$ 为指数；讨论非平凡指数函数时取 $a\ne1$。
随着近代微积分体系的完善, 现在指数函数通常特指以$e$为底数的指数函数:

$$y=e^x$$

其中 $e$ 为自然对数的底数（Euler's number，不是通常记为 $\gamma$ 的欧拉–马歇罗尼常数）, 近似值为2.718281828...

性质

• 指数函数的结构在微分操作中保持不变

1. 在算子代数中：$D(f(x)) = f'(x)$ 是一种线性算子。对于这样的算子，指数函数是它的“本征函数”（eigenfunction），本征值为 $1$：

   $$$$

   D(e^x) = e^x.

   $$$$

2. 在微分方程中：$e^x$ 是解决齐次一阶微分方程的基础解：

   $$$$

   \frac{dy}{dx} = y.

   $$$$

3. 由性质(2)可以推导出 $e^x$ 以 $0$ 为中心的幂级数近似式:
   假设解 $y = e^x$ 可以展开为以 $0$ 为中心的幂级数
   结合微分方程 $\frac{dy}{dx} = y$ 与初始条件 $y(0)=1$，通过此幂级数求导后与原式逐项系数对比，可推导出其泰勒展开式：

   $$$$

   e^x=\sum_{n=0}{\infty}\frac{x^n}

   $$$$

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推广

与三角函数的关系

• 通过欧拉公式可以建立起指数函数与三角函数的关系.

指数映射与李群

在高等数学与现代代数中，微积分里的函数 $y = e^x$ 被推广为了抽象的指数映射（Exponential Map），它是连接“李代数”与“李群”的核心工具。

• 李代数：描述局部线性化特征（一维时，对应实数的加法结构）。
• 李群：描述全局平滑对称变换（一维时，对应实数的乘法结构）。

指数函数可以看作李群指数映射在一维情形下最简单直观的例子。因为它可以把加法运算映射为乘法运算.

考虑两个一维李群：

$$(\mathbb R,+)$$

表示实数的加法群，而

$$(\mathbb R_{>0},\times)$$

表示正实数的乘法群。普通指数函数

$$\exp(x)=e^x$$

恰好把两者联系起来，并满足

$$e^{x+y}=e^xe^y.$$

也就是说，指数函数把“加法”转化成了“乘法”。

在更一般的李群中，与群的恒等元附近相对应的线性化结构称为李代数。指数映射

$$\exp:\mathfrak g\rightarrow G$$

则把李代数中的元素与李群中的连续运动联系起来，可以理解为从“无穷小变换”走向“有限变换”的桥梁。

对于矩阵李群，这个指数映射正是熟悉的矩阵指数：

$$\exp(X)=I+X+\frac{X^2}{2!}+\frac{X^3}{3!}+\cdots$$

当 $X$ 退化为一个普通实数 $x$ 时，它就变成

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

这个性质也正是指数结构能够推广到矩阵、旋转和连续对称变换中的重要原因。

级数 $\sum_{n\ge0}x^n/n!$ 对所有实数（乃至复数）收敛，在有界区间可逐项求导，所得函数满足 $y'=y$、$y(0)=1$，由一阶线性方程解的唯一性得到它就是 $e^x$。这补足了“假设可以展开”之后的验证。一般矩阵指数仅在 $XY=YX$ 等条件下才有 $e^{X+Y}=e^Xe^Y$，不可把标量的群同态公式无条件推广。