旋度

定义

旋度（curl）

对于向量场 $\mathbf{v}$，其旋转程度由旋度描述，定义为

$$\operatorname{curl}\mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{v}.$$

其中：

• $\text{curl}\, \mathbf{v}$是旋度。
• $\nabla$是向量微分算子

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二维

在二维情况下，考虑一个向量场 $\mathbf{F} = (P(x, y), Q(x, y))$。旋度是标量，可以用行列式来表示：

$$\text{curl}\, \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ P & Q \end{array} \right| = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$

这在几何上对应于三维旋度向量的 $z$ 分量，即：

$$\nabla\times(P,Q,0)=\left(0,0,\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right),\qquad\operatorname{curl}_{2D}(P,Q)=[\nabla\times(P,Q,0)]\cdot\mathbf k.$$

因此，二维平面上的旋度可以看作三维旋度在垂直于平面的方向上的投影。

三维

在三维情况下，考虑一个向量场 $\mathbf{F} = (F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z))$。旋度是向量，可以用行列式来表示：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{array} \right| = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$$

这是三维空间中的旋度，是一个向量场, 在空间中任意一点给出一个向量。

对 $C^1$ 场，旋度在单位法向 $\mathbf n$ 上的分量，是该点小圆盘边界的正向环流除以圆盘面积的极限；边界方向按右手定则。由斯托克斯公式和连续性可得此局部解释。对刚体速度场 $\mathbf v=(-\omega y,\omega x,0)$，旋度为 $(0,0,2\omega)$，所以速度场旋度是局部角速度的两倍，并非角速度本身。