泛函分析把线性代数推广到无穷维函数空间：赋范空间与巴拿赫空间给出度量与分析框架，内积空间与希尔伯特空间延续正交、投影与展开的几何结构；其上的有界线性算子构成核心研究对象，而对偶空间与Hahn-Banach定理把标量探测、弱拓扑与紧性理论连成整体，紧算子与其谱理论把无穷维算子拉回有限维直觉；巴拿赫代数与Gelfand表示进一步把算子与函数代数统一起来，自伴算子与其谱定理（谱测度、函数演算）把谱分解推广到一般算子；开映射定理、有界逆定理与闭图像定理连同一致有界原理构成基本定理，保证巴拿赫空间之间满射/双射算子的结构稳定性，为微分方程、量子力学与逼近论提供语言；Sobolev空间则以弱导数量化函数的可微性，通过Sobolev嵌入定理把导数阶数兑换为可积性与正则性，为偏微分方程的弱解理论奠基；最后，变分法、Euler-Lagrange方程与Dirichlet原理把微分方程化为能量极值问题，谱理论在物理中的应用把可观测量理解为自伴算子的谱，算子半群与Hille-Yosida定理刻画演化方程，积分方程、Galerkin方法与有限元方法给出求解框架，特征值的变分刻画（Rayleigh 商）贯穿谱几何与数值方法。

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