紧算子的定义

有限维空间中矩阵的谱由有限个特征值组成；进入无穷维后，一般有界算子的谱可能相当复杂（如乘法算子的谱是整个闭区间）。紧算子是"最接近有限维"的那类有界算子：它们把有界集映为相对紧集，从而谱结构退化到与矩阵几乎相同，是积分方程与谱理论的核心研究对象。前置依赖：有界线性算子的定义、赋范空间的定义。

紧算子

设 $X,Y$ 为赋范空间，线性算子 $T:X\to Y$ 称为紧算子，若 $T$ 把 $X$ 的有界集映为 $Y$ 的相对紧集。等价地（$Y$ 完备时），$T$ 把 $X$ 的单位球映为 $Y$ 的完全有界集，即每个有界序列 $(x_n)$ 都有子列 $(x_{n_k})$ 使 $(Tx_{n_k})$ 收敛。

等价刻画

• 序列形式：对每个有界列 $(x_n)$，$(Tx_{n_k})$ 有收敛子列（$Y$ 为巴拿赫空间时）
• 紧算子必为有界算子（有界集映为相对紧集，相对紧集有界）
• 若 $\dim X<\infty$，一切线性算子都紧（有界集在 $\mathbb{K}^n$ 中相对紧）

基本例子

• 有限秩算子（值域有限维）必紧，见有限秩算子
• 积分算子 $K:C[0,1]\to C[0,1]$，$(Kf)(x)=\int_0^1 k(x,y)f(y)\,dy$（核 $k$ 连续）紧，见紧算子的例子
• 对角算子 $(\lambda_n x_n)$ 在 $\ell^2$ 上紧当且仅当 $\lambda_n\to 0$

后续

紧算子的谱结构由紧算子的谱描述；自伴紧算子可对角化（紧自伴算子）；紧算子把弱收敛提升为强收敛（紧算子与弱收敛），其全体构成 $B(X,Y)$ 中的闭理想（紧算子的基本性质）。