Hahn-Banach定理

对偶空间 $X^*$ 为什么"足够丰富"？答案由 Hahn–Banach 定理给出：它能把子空间上给定的（受控）线性泛函整体延拓到全空间且不增范数，从而保证非零向量的对偶像非零、凸集可被超平面分离。这是"用标量函数探测空间"能成功的根本原因。前置依赖：赋范空间的定义、连续线性泛函、算子范数。

Hahn–Banach 定理（解析形式）

设 $X$ 为实线性空间，$p:X\to\mathbb{R}$ 为次线性泛函（$p(x+y)\le p(x)+p(y)$，$p(\alpha x)=\alpha p(x)$，$\alpha\ge0$）。若 $Y\subset X$ 为线性子空间，$f:Y\to\mathbb{R}$ 线性且 $f(y)\le p(y)$（$y\in Y$），则存在线性延拓 $F:X\to\mathbb{R}$ 使 $F|_Y=f$ 且 $F(x)\le p(x)$ 对一切 $x\in X$ 成立。

赋范空间版本

取 $p(x)=\|f\|\,\|x\|$ 得：若 $X$ 为赋范空间、$f\in Y^*$，则存在 $F\in X^*$ 满足

$$F|_Y=f,\qquad \|F\|=\|f\|$$

（范数保持延拓）。复空间情形通过实部 $F(x)=\mathrm{Re}\,F(x)-i\,\mathrm{Re}\,F(ix)$ 化归。

推论

• 分离性：对任意 $x_0\ne0$，存在 $\varphi\in X^*$ 使 $\varphi(x_0)=\|x_0\|$ 且 $\|\varphi\|=1$——$X^*$ 分离 $X$ 的点
• 对 $x\notin\overline{Y}$（$Y$ 闭子空间），存在 $\varphi\in X^*$ 使 $\varphi|_Y=0$、$\varphi(x)\ne0$
• $X^*$ 的对偶范数决定 $X$ 的范数：$\|x\|=\sup_{\|\varphi\|\le1}|\varphi(x)|$
• 每个闭凸集是包含它的闭半空间之交（几何形式见Hahn-Banach分离定理）

证明思想

用 Zorn 引理取极大延拓 $(Z,F)$；若 $Z\ne X$，取 $z\notin Z$ 用次可加性构造 $F$ 在 $Z+\mathbb{R}z$ 上的延拓（选择适当的 $c$ 使 $F(z)=c$ 满足两侧夹逼 $F(y)-p(y-z)\le c\le p(y+z)-F(y)$），与极大性矛盾。

后续

Hahn–Banach 是三大原理之首（另有开映射、闭图像定理），支撑典范嵌入的等距性、自反空间与弱拓扑理论；分离形式在凸分析、优化（Lagrange 对偶）与偏微分方程弱解理论中无处不在。