特征值的变分刻画

特征值可以写成 Rayleigh 商的极值，这使特征值问题从"解方程"转化为"优化问题"——变分法的直接方法因此可以证明特征值的存在性，并给出估计。Rayleigh 商与 min–max 原理是谱几何、量子力学（能量极值原理）与数值线性代数（幂法、Lanczos 方法）的共同基础。需先掌握特征值、自伴算子的定义与变分法。

Rayleigh 商与 min–max 原理

自伴算子（或 Hermite 矩阵）$A$ 的 Rayleigh 商为

$$R(u)=\frac{\langle Au,u\rangle}{\langle u,u\rangle},\qquad u\ne0$$

设特征值 $\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots$（从下排列），则

$$\lambda_k=\min_{\dim S=k}\ \max_{u\in S,\ u\ne0}R(u)=\max_{\dim S=k-1}\ \min_{u\in S^\perp,\ u\ne0}R(u)$$

特别地 $\lambda_1=\min_{u\ne0}R(u)$，$\lambda_{\max}=\max_{u\ne0}R(u)$（Courant–Fischer 定理）。

应用

• 特征值的存在性：对 $-\Delta u=\lambda u$（有界区域），$\lambda_1=\min_{u\in H^1_0\setminus\{0\}}\dfrac{\int|\nabla u|^2}{\int u^2}$ 由Rellich–Kondrachov紧嵌入取到极小，得到第一特征值与特征函数（见拉普拉斯算子）
• 谱几何：$\lambda_1$ 的下界（Faber–Krahn：球给出最小第一特征值）、Weyl 渐近公式，见谱几何
• 数值方法：幂法、反幂法、Lanczos 算法都基于 Rayleigh 商对特征向量的极值性质
• 量子力学：能量泛函 $\langle\psi,\hat H\psi\rangle/\langle\psi,\psi\rangle$ 的极小即基态能量（Ritz 变分原理，见谱理论在物理中的应用）

例子

$2\times2$ 矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$：$R(u)=\frac{2x^2+2xy+2y^2}{x^2+y^2}$。在单位圆 $x^2+y^2=1$ 上求极值：$\lambda_{\max}=3$（$u=(1,1)/\sqrt2$）、$\lambda_{\min}=1$（$u=(1,-1)/\sqrt2$）。

后续

特征值的变分刻画把自伴算子谱理论与变分法、谱几何、数值代数连成一体；离散版本（Galerkin 离散特征值问题）是有限元方法中模态分析的标准途径。