算子半群

热方程、波动方程等演化方程的解可以写成 $u(t)=T(t)u_0$，其中算子族 $\{T(t)\}_{t\ge0}$ 满足 $T(t+s)=T(t)T(s)$、$T(0)=I$——这就是算子半群。它把"解方程"转化为"研究算子族的解析性质"，是谱理论在物理中的应用之外泛函分析最重要的应用之一。需先掌握巴拿赫空间的定义、有界线性算子的定义与弱收敛的拓扑语言。

C₀-半群

巴拿赫空间 $X$ 上的强连续半群（C₀-半群）是满足下列条件的算子族 $T(t):X\to X$（$t\ge0$）：

1. $T(0)=I$，$T(t+s)=T(t)T(s)$（半群律）
2. 对每个 $x\in X$，映射 $t\mapsto T(t)x$ 连续（强连续）
3. 存在 $M,\omega$ 使 $\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$（指数增长界）

无穷小生成元

• 定义 $Ax=\lim_{t\downarrow0}\frac{T(t)x-x}{t}$，其定义域 $D(A)$ 为极限存在的 $x$ 全体；$A$ 称为生成元
• 半群 $T(t)$ 形式上等于 $e^{tA}$：Cauchy 问题 $\frac{du}{dt}=Au,\ u(0)=u_0$ 的解为 $u(t)=T(t)u_0$
• 例：$X=L^2(\mathbb R^n)$ 上热方程 $\partial_t u=\Delta u$ 的生成元是 $\Delta$（自伴），$T(t)=e^{t\Delta}$ 是压缩半群（由谱理论在物理中的应用的谱观点，$e^{t\Delta}$ 由函数演算给出）

主要性质

• 生成元 $A$ 稠定、闭；$D(A)$ 在 $T(t)$ 作用下不变，且 $t\mapsto T(t)x$ 对 $x\in D(A)$ 可微
• 抽象 Cauchy 问题：$u_0\in D(A)$ 时 $u(t)=T(t)u_0$ 是唯一经典解；$u_0\in X$ 时是温和解
• 谱与增长的关联：$\sigma(A)$ 在左半平面（$\mathrm{Re}\,\lambda\le\omega$）时半群指数稳定

例子

• 平移半群：$X=L^p(\mathbb R)$，$(T(t)f)(x)=f(x+t)$，生成元 $A=\frac{d}{dx}$（无界）
• 热半群：$e^{t\Delta}$，生成元 $\Delta$（见热方程）
• 波动方程：化为 $X=H^1_0\times L^2$ 上的一阶系统，生成元为 $\begin{pmatrix}0&I\\ \Delta&0\end{pmatrix}$ 型算子（见波动方程）

后续

生成元的刻画由Hille-Yosida定理给出；半群理论衔接一致有界原理、谱理论（谱映射定理）与随机过程（Markov 半群、转移半群），是偏微分方程、概率论与量子动力学的公共语言。