有界线性算子的定义

有限维空间中一切线性映射都自动连续；进入无穷维函数空间后，线性映射可能"爆炸"（如求导）。给线性算子加上有界性条件，恰好筛出连续的那一批——这是泛函分析研究算子的出发点。

有界线性算子

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 为线性映射。若存在常数 $C\ge 0$ 使得

$$\|Tx\|\le C\|x\|,\quad\forall x\in X$$

则称 $T$ 为有界线性算子。使上式成立的最小常数即算子范数 $\|T\|$。

例子

• 恒等算子 $I:x\mapsto x$（$\|I\|=1$）与零算子（$\|0\|=0$）
• 积分算子 $K:C[0,1]\to C[0,1]$，$(Kf)(x)=\int_0^1 k(x,y)f(y)\,dy$（$k$ 连续），有界
• 乘法算子 $M_g:C[0,1]\to C[0,1]$，$f\mapsto gf$，$\|M_g\|=\|g\|_\infty$
• 平移算子 $S:\ell^2\to\ell^2$，$(x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_1,x_2,\dots)$，$\|S\|=1$

性质

• 有界线性算子把有界集映为有界集，且 $\|Tx\|\le\|T\|\,\|x\|$
• 有限维空间上的线性算子必有界，见有限维空间上的线性算子
• 有界性与连续性等价，见线性算子的连续性；无界线性算子的典型例子（求导）也在那里

后续

全体有界线性算子构成线性空间 $B(X,Y)$，赋算子范数后是有界线性算子空间；其特殊情形 $Y=\mathbb{K}$ 即连续线性泛函（对偶空间）。