闭图像定理

直接验证线性算子有界往往要估计范数，而验证"图像闭"（极限保持）通常容易得多。闭图像定理说：在巴拿赫空间之间两者等价——它把范数估计问题转化为闭性验证，是 PDE 弱解理论中证明解算子连续的标准手段。前置依赖：巴拿赫空间的定义、有界线性算子的定义、开映射定理。

闭图像定理

设 $X,Y$ 为巴拿赫空间，$T:X\to Y$ 线性（不必先假设有界）。则

$$T\text{ 有界}\iff \operatorname{graph}(T)=\{(x,Tx):x\in X\}\text{ 是 }X\times Y\text{ 的闭子空间}$$

（$X\times Y$ 取范数 $\|(x,y)\|=\|x\|+\|y\|$ 或 $\max\{\|x\|,\|y\|\}$，等价）。

证明（用开映射定理）

• $(\Rightarrow)$ $T$ 连续：$x_n\to x$ 且 $Tx_n\to y$ 蕴含 $Tx_n\to Tx$，由极限唯一性 $y=Tx$，图像闭。
• $(\Leftarrow)$ 图像 $G$ 是巴拿赫空间 $X\times Y$ 的闭子空间，故自身巴拿赫。投影 $\pi_1:G\to X$，$(x,Tx)\mapsto x$ 是有界线性双射（逆为 $x\mapsto(x,Tx)$）。由有界逆定理，$\pi_1^{-1}$ 有界，于是 $T=\pi_2\circ\pi_1^{-1}$ 有界。

用法

要证 $T$ 有界，只需验证：$x_n\to x,\ Tx_n\to y\Rightarrow y=Tx$（图像闭）。这比直接估计 $\|Tx\|$ 容易得多。

反例（说明完备性本质）

微分算子 $D=\dfrac{d}{dx}$，定义域 $(C^1[0,1],\|\cdot\|_\infty)$（不完备），陪域 $C[0,1]$。其图像闭：$f_n\to f$、$f_n'\to g$ 一致蕴含 $f\in C^1$ 且 $f'=g$。但 $D$ 无界：$\|\sin(nx)\|_\infty=1$ 而 $\|D\sin(nx)\|_\infty=n$。定义域不完备，闭图像定理前提不满足。

例子

• 含入映射 $C^1[a,b]\hookrightarrow C[a,b]$（$C^1$ 取 $C^1$ 范数）有界，图像闭
• 傅里叶变换 $\mathcal F$ 在 $L^2(\mathbb R)$ 上：Plancherel 定理给出 $\mathcal F$ 在稠密子空间 $L^1\cap L^2$ 上等距，图像闭性成立，从而 $\|\mathcal F\|_{\mathcal L(L^2)}=1$（见傅里叶变换）

后续

闭图像法是 PDE 弱解理论的标准工具：线性解算子若图像闭则自动连续（结合 Sobolev 空间的嵌入定理）；它与开映射定理、有界逆定理、一致有界原理、Hahn-Banach定理构成泛函分析基本定理的完整图景。