内积空间的定义

只靠范数能度量"长度"却无法谈论"夹角"与"正交"。给向量空间再配上一个内积，就获得了角度、正交与投影等几何结构——这是从有限维欧氏几何走向无穷维函数空间的关键一步。

内积空间

设 $H$ 是 $\mathbb{K}$（$\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）上的向量空间。若映射 $\langle\cdot,\cdot\rangle: H\times H\to\mathbb{K}$ 满足

1. 对第一变元线性：$\langle \alpha x+\beta y,z\rangle=\alpha\langle x,z\rangle+\beta\langle y,z\rangle$；
2. 共轭对称：$\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$；
3. 正定性：$\langle x,x\rangle\ge 0$，且 $\langle x,x\rangle=0\iff x=0$；
   则称 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 为内积，$(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 为内积空间（准希尔伯特空间）。

例子

• $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{C}^n$：$\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^n x_k\overline{y_k}$（实情形即几何内积）
• 平方可和序列空间 $\ell^2$：$\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_n\overline{y_n}$
• 平方可积函数空间 $L^2$：$\langle f,g\rangle=\int f\,\overline{g}\,d\mu$，见L2空间

性质

• 内积关于第二变元共轭线性（实情形为线性），整体是共轭双线性形式
• 由内积可诱导范数，见内积诱导的范数；完备的内积空间即希尔伯特空间
• 有限维情形即线性代数中的内积空间

后续

内积是正交性、正交分解与正交基展开的出发点；希尔伯特空间的整套几何理论都建立在内积之上。