紧自伴算子

紧自伴算子是紧算子理论中结果最完整的部分：在 Hilbert 空间上，自伴性（见伴随算子）与紧性叠加后，算子可以被特征向量完全对角化，如同无穷维版的实对称矩阵。这是谱定理最简洁而实用的形式，直接用于积分方程与量子力学。前置依赖：紧算子的定义、伴随算子、希尔伯特空间的定义。

紧自伴算子的谱定理

设 $H$ 为可分 Hilbert 空间，$T:H\to H$ 为紧自伴算子。则存在 $H$ 的正交规范基 $\{e_n\}$（可取为特征向量）与实特征值序列 $(\lambda_n)$（$\lambda_n\to 0$），使得

$$Tx=\sum_{n}\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n$$

即 $T$ 可对角化，且 $\sigma(T)=\{\lambda_n\}\cup\{0\}$ 均为实数。

关键结论

• 非零特征值只有有限重数；特征值唯一可能的聚点是 $0$（由 $T$ 紧，特征向量对应特征值的"分离"性质）
• 不同特征值的特征向量正交（自伴性：$\lambda\langle x,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle=\mu\langle x,y\rangle$）
• $T$ 的正（负）部可借由 $\max_{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle$ 的极值原理取得，见正交分解定理中投影的紧类比

例子

• 紧积分算子 $(Kf)(x)=\int_0^1 k(x,y)f(y)\,dy$，$k$ 连续且对称（$k(x,y)=\overline{k(y,x)}$），特征值分解即 Mercer 定理的算子形式
• $\ell^2$ 上对角算子 $(\lambda_n x_n)$ 自伴当且仅当 $\lambda_n\in\mathbb{R}$；紧当且仅当 $\lambda_n\to 0$

后续

紧自伴算子的谱分解是紧算子的谱的特例，也是更一般自伴算子（含无界算子）谱定理的起点；在应用上连接Fredholm择一定理与积分方程的特征值问题。