巴拿赫代数的定义

线性代数研究有限维空间上的运算；进入无穷维后，有界算子全体 $B(X)$ 自带乘法（复合）与范数（算子范数），天然构成一个既完备又相容于乘法的代数对象。把这种结构抽象出来，就得到巴拿赫代数——它是赋范空间与代数结构的结合，也是算子代数研究的基本对象。前置依赖：巴拿赫空间的定义、赋范空间的定义。

巴拿赫代数

设 $A$ 是数域 $\mathbb{K}$（$\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）上的代数，即带双线性乘法的线性空间。若 $A$ 配有范数 $\lVert\cdot\rVert$ 使 $A$ 成为巴拿赫空间，且乘法满足次可乘性

$$\lVert xy\rVert\le \lVert x\rVert\lVert y\rVert\qquad(\forall x,y\in A),$$

则称 $A$ 为巴拿赫代数。若乘法有单位元 $e$ 且 $\lVert e\rVert=1$，称 $A$ 为含单位元（unital）的巴拿赫代数；乘法交换时称交换巴拿赫代数。

基本性质

• 乘法是连续的：$x_n\to x,\ y_n\to y\Rightarrow x_ny_n\to xy$（次可乘性保证）
• 含单位元时，可逆元全体 $A^{\times}$ 是开集，且 $x\mapsto x^{-1}$ 连续（Neumann 级数，见可逆算子）
• 次可乘性保证 $\lVert x^n\rVert\le\lVert x\rVert^n$，这使幂的范数可控，为谱半径公式提供基础

例子预览

• $B(X)$：巴拿赫空间 $X$ 上有界线性算子全体，乘法为复合，见巴拿赫代数的例子
• $C[0,1]$：连续函数全体配逐点乘法与上确界范数
• $L^1(\mathbb{R})$：配卷积乘法

后续

巴拿赫代数上的核心课题是谱理论：元素的谱（谱（巴拿赫代数））、谱半径（谱半径公式），以及交换情形的Gelfand表示。带对合的 $C^*$ 代数见C星代数。