有界逆定理

线性代数中可逆矩阵的逆自动有界；无穷维里"双射"与"逆连续"并不自动等价，除非定义域与陪域完备。有界逆定理（开映射定理的直接推论）把这一有限维直觉推广到巴拿赫空间，是谱理论中"可逆"概念的基石。前置依赖：开映射定理、可逆算子、巴拿赫空间的定义。

有界逆定理

设 $X,Y$ 为巴拿赫空间，$T:X\to Y$ 为有界线性双射。则 $T^{-1}:Y\to X$ 有界（连续）。

证明

由开映射定理，$T$ 是开映射；双射的开映射其逆连续：$Y$ 中开集 $U$ 的原像 $(T^{-1})^{-1}(U)=T(U)$ 是开集。故 $T^{-1}$ 连续，从而有界（见线性算子的连续性）。

等价形式

• $T$ 有界线性、单射且值域 $R(T)$ 闭 $\Rightarrow T^{-1}:R(T)\to X$ 有界
• 闭值域判据（$T$ 单射时）：$T$ 的值域闭 $\iff$ 存在 $c>0$ 使 $\|Tx\|\ge c\|x\|$（$x\in X$）；一般情形用商距离 $\|Tx\|\ge c\,\operatorname{dist}(x,\ker T)$
• 巴拿赫同构定理：巴拿赫空间之间的有界线性双射是拓扑同构（两方向连续）

例子

• 有限维：$T$ 可逆 $\iff \det A\ne0$，逆自动连续（见逆矩阵）
• 第二类 Fredholm 方程 $u-\lambda Ku=f$：当 $1\notin\sigma(\lambda K)$ 时 $(I-\lambda K)^{-1}$ 有界（见可逆算子）
• $\ell^2$ 上 $T(x_n)=(x_n/n)$：单射但值域不闭，$T^{-1}$ 无界——闭值域条件不可省

后续

闭值域判据是对偶算子与紧算子的谱理论的关键工具：谱集 $\sigma(T)$ 正是使 $\lambda I-T$ 不具（有界）逆的 $\lambda$ 全体（见算子代数）；在微分方程中它把"解存在唯一"提升为"解连续依赖于右端"。