有限元方法

有限元方法（FEM）是求解偏微分方程最常用的数值方法：把区域剖分为单元，在每个单元上用分片多项式近似解，通过Galerkin方法组装成稀疏线性方程组。它的数学基础正是Sobolev空间与弱解理论。需先掌握Galerkin方法、Sobolev空间的定义与Poincaré不等式。

有限元离散

对弱形式 $a(u,v)=\langle f,v\rangle$（$V=H^1_0(\Omega)$），取分片多项式空间 $V_h\subset V$（$h$ 为网格尺寸），Galerkin 近似 $u_h\in V_h$ 满足 $a(u_h,v)=\langle f,v\rangle$ 对所有 $v\in V_h$。刚度矩阵 $A_{ij}=a(\varphi_j,\varphi_i)$ 稀疏（基函数支集局部），可用迭代法高效求解。

收敛性

• 由 Céa 引理 $\|u-u_h\|_{H^1}\le\frac{M}{c}\inf_{v\in V_h}\|u-v\|_{H^1}$
• 插值误差：分片 $k$ 次多项式、网格尺寸 $h$、解 $u\in H^{k+1}$ 时

  $$\|u-\mathcal I_h u\|_{H^1}\le Ch^k\|u\|_{H^{k+1}}$$

  由Sobolev嵌入定理保证插值算子有界；结合两者得 $H^1$ 范数误差 $O(h^k)$
• 对偶论证（Aubin–Nitsche 技巧）可把 $L^2$ 误差提升到 $O(h^{k+1})$

实现要点

• 单元与基函数：三角形/四面体剖分，基函数 $\varphi_j$ 为节点处取 1、其他节点取 0 的分片线性函数（hat 函数）
• 刚度矩阵组装：$A_{ij}=\int_\Omega\nabla\varphi_j\cdot\nabla\varphi_i\,dx$ 逐单元计算后叠加，非零元只出现在共享节点的单元对
• Dirichlet 边界：边界节点自由度固定（$u_h|_{\partial\Omega}=0$），本质边界条件直接消元

例子

一维 $-\frac{d^2u}{dx^2}=f$，$u(0)=u(1)=0$：$[0,1]$ 剖分为 $N$ 等分，分片线性基，刚度矩阵 $A=\frac1h\,\mathrm{tridiag}(-1,2,-1)$，解线性方程组即得近似解——收敛阶 $O(h)$（$H^1$）与 $O(h^2)$（$L^2$）。

后续

有限元方法衔接Galerkin方法、弱解（偏微分方程）与特征值的变分刻画（特征值问题的离散近似），是科学计算与工程仿真的标准工具，其自适应加密依赖后验误差估计（基于残差与对偶问题）。