弱导数

经典导数要求函数本身可微，但偏微分方程的解往往只有一阶可积性（见弱解）。弱导数把"导数"的概念搬到可测函数上：不求差商极限，而要求函数对光滑测试函数满足分部积分关系——这在 $L^p$ 框架下自然且封闭。

弱导数

设 $u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$，$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 为开集，$\alpha$ 为多重指标。若存在 $v\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 使

$$\int_\Omega u\,\partial^\alpha\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v\,\varphi\,dx,\qquad \forall\,\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$$

则称 $v$ 为 $u$ 的 $\alpha$ 阶弱导数，记作 $v=\partial^\alpha u$。若存在则几乎处处唯一。

与经典导数的关系

• $u\in C^k(\Omega)$ 时，经典偏导数 $\partial^\alpha u$ 就是弱导数（分部积分成立）
• 反之弱导数存在不一定有经典导数：$u(x)=|x|$ 在 $(-1,1)$ 上弱导数为符号函数 $\operatorname{sgn}x$，但经典导数在 $0$ 处不存在
• 弱导数的存在性由测试函数空间 $C_c^\infty(\Omega)$ 决定，见磨光算子

性质

• 线性：$\partial^\alpha(au+bv)=a\,\partial^\alpha u+b\,\partial^\alpha v$
• Leibniz 法则：$u\in W^{1,p}$，$\phi\in C_c^1(\Omega)$ 时 $\partial_i(u\phi)=(\partial_i u)\phi+u\,\partial_i\phi$
• 局部性：若 $u=v$ 在开集 $V$ 上几乎处处成立，则 $\partial^\alpha u=\partial^\alpha v$ 在 $V$ 上几乎处处成立
• 弱导数与积分次序可交换：Riesz 表示与Lebesgue 积分的绝对连续性共同保证

后续

弱导数是Sobolev空间的定义的原料——把 $L^p$ 空间与弱导数组合即得 $W^{k,p}$；也是分布（广义函数）理论的先声，后者允许对任意 $L^1_{\mathrm{loc}}$ 函数求任意阶导。