变分法

许多偏微分方程与几何问题可以改写为"某个能量泛函在函数空间中取极小值"的形式，变分法正是研究这类泛函极值问题的理论，它把微分方程的分析与泛函分析的几何直观（距离、收敛、紧性）连接起来。需先掌握赋范空间的定义与弱收敛；能量极小的存在性依赖Rellich–Kondrachov紧嵌入与凸性。

变分问题的直接方法

设 $X$ 为自反巴拿赫空间（如 $W^{1,p}_0$），泛函 $\mathcal E:X\to\mathbb R$ 满足强制性（$\|u\|\to\infty\Rightarrow\mathcal E(u)\to\infty$）与弱下半连续性，则 $\mathcal E$ 在 $X$ 上取得极小值：取极小化序列 $u_n$，由强制性有界，自反空间给出弱收敛子列 $u_n\rightharpoonup u$，弱下半连续性给出 $\mathcal E(u)\le\liminf\mathcal E(u_n)$。

直接方法的三步

1. 取极小化序列：$\mathcal E(u_n)\to\inf\mathcal E$，强制性保证 $\{u_n\}$ 有界
2. 找弱收敛子列：自反空间中闭球弱紧（Eberlein–Šmulian），得到 $u_n\rightharpoonup u$
3. 证明极限是极小元：$\mathcal E$ 弱下半连续，故 $\mathcal E(u)\le\inf\mathcal E$

与偏微分方程的联系

• 极小元满足Euler-Lagrange方程，即泛函的一阶变分为零；对 $J(u)=\int F(x,u,\nabla u)$ 得到椭圆方程
• Dirichlet 能量 $\mathcal E(u)=\frac12\int_\Omega|\nabla u|^2-\int_\Omega fu$ 的极小元正是泊松方程的弱解（见Dirichlet原理）
• 约束极值（如固定边界、固定 $L^p$ 范数）用 Lagrange 乘子处理，特征值问题即约束能量极小（见特征值的变分刻画）

后续

变分法向下衔接Galerkin方法与有限元方法（极小元在有限维子空间上的近似），向上发展为变分不等式与临界点理论（山路引理），是现代偏微分方程与最优控制的标准语言。