对偶空间（泛函分析）

"用标量函数探测空间"是分析学的基本方法：对偶空间 $X^*$ 由 $X$ 上所有连续线性泛函组成，把每个向量映成一个数，从而从外部观察空间的几何。线性代数中有限维对偶空间 $V^*$ 维数与 $V$ 相同；到无穷维后必须要求连续性，$X^*$ 才具有良好性质（否则代数对偶远大于 $X$ 的"可观测"部分）。前置依赖：连续线性泛函、赋范空间的定义、算子范数。

对偶空间（泛函分析）

设 $X$ 为赋范空间，$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$。$X$ 上全体连续线性泛函构成的空间

$$X^*=B(X,\mathbb{K})$$

赋算子范数 $\|\varphi\|=\sup_{\|x\|\le1}|\varphi(x)|$，称为 $X$ 的（连续）对偶空间。$X^*$ 按该范数完备（$\mathbb{K}$ 完备），故 $X$ 为巴拿赫空间时 $X^*$ 亦为巴拿赫空间。

与线性代数对偶空间的关系

• 有限维时与对偶空间（线性代数）一致：$\dim V^*=\dim V$，对偶基 $e^i(e_j)=\delta_{ij}$
• 无穷维时两者差别巨大：代数对偶 $\mathrm{Hom}(X,\mathbb{K})$（不要求连续）远大于 $X^*$；$\ell^\infty$ 上可构造不连续的线性泛函（依赖选择公理）
• 连续性由 $X$ 的拓扑决定，$X^*$ 是"按范数有界"的泛函空间

例子

• $(\ell^1)^*\cong\ell^\infty$、$(\ell^p)^*\cong\ell^q$（$1<p<\infty$，$1/p+1/q=1$）、$(c_0)^*\cong\ell^1$，详见对偶空间的例子
• 希尔伯特空间 $H^*\cong H$（Riesz表示定理）
• $L^p$ 的对偶见Lp空间的定义；$C[a,b]^*$ 为正则博雷尔测度空间（Riesz–Markov）

后续

对偶空间是弱收敛、弱拓扑与弱星拓扑（Alaoglu定理）的舞台；$X$ 到二次对偶的典范嵌入与自反空间刻画 $X$ 的完备性极限。Hahn–Banach 定理保证 $X^*$ 足够丰富，见Hahn-Banach定理。