克拉默法则是一种解线性方程组的技巧, 利用行列式来表达未知数的解析解。 对于 $n$ 个未知数的 $n$ 元线性方程组:

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \vdots \qquad \vdots \qquad \qquad \vdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$$

如果系数行列式

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \neq 0$$

则该方程组有唯一解

$$x_k = \frac{D_k}{D}, \quad k=1,2,\cdots,n$$

其中 $D_k$ 是将行列式 $D$ 的第 $k$ 列元素替换为常数列 $[b_1, b_2, \cdots, b_n]^T$ 所得行列式:

$$D_k = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,k-1} & b_1 & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & \cdots & a_{2,k-1} & b_2 & a_{2,k+1} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{n,k-1} & b_n & a_{n,k+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

Tip

当系数行列式 $D=0$ 时:

• 如果所有 $D_k=0$,则该方程组有无穷多解
• 如果存在 $D_k\neq 0$,则该方程组无解

克拉默法则为求解线性方程组提供了解析解,避免了消元的复杂计算过程,但计算行列式的过程也较为繁琐。当方程数量较大时,常采用数值方法如高斯消元法求解。

总的来说,克拉默法则展示了线性方程组解与系数行列式及常数行列式之间的微分关系,是线性代数理论的一个重要内容。