一般形式

$$F(x,y,z)=Ax+By+Cz+D=0$$

• 平面上任一点都满足上述方程
• 平面外任一点都不满足上述方程
• $\vec{n}=(A,B,C)$是平面的一个法向量

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点法式

如果已知法向量$\vec{n}=(A,B,C)$，则可用法向量完全描述平面$F$

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

• 设平面内任意直线$MN$，则$\vec{MN}\cdot \vec n=0$
• 点$M(x_0,y_0,z_0)$在平面$\Pi$内

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截距式

$$\frac x a+\frac y b+\frac z c=1$$

a b c分别为平面在坐标轴上的截距

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两平面的夹角

平面$\Pi_1$ 的法向量 $\vec n_1 =(A_1,B_1,C_1)$ 平面$\Pi_2$ 的法向量 $\vec n_2 =(A_2,B_2,C_2)$ 两平面夹角$\theta$可由下列公式确定

$$\cos \theta = \frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

结论

• 两平面垂直，则$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
• 两平面平行，则$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$