空间平面

一般形式

要求 $(A,B,C)\ne(0,0)$。

$$F(x,y,z)=Ax+By+Cz+D=0$$

• 平面上任一点都满足上述方程
• 平面外任一点都不满足上述方程
• $\vec{n}=(A,B,C)$是平面的一个法向量

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点法式

如果已知法向量$\vec{n}=(A,B,C)$，还须给定平面上的一点 $M_0$ 才能确定平面

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

• 设平面内任意直线$MN$，则$\vec{MN}\cdot \vec n=0$
• 点$M(x_0,y_0,z_0)$在平面$\Pi$内

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截距式

$$\frac x a+\frac y b+\frac z c=1$$

$a,b,c$ 为有限、非零截距；平行某坐标轴或过原点的平面不一定能用此式

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两平面的夹角

平面$\Pi_1$ 的法向量 $\vec n_1 =(A_1,B_1,C_1)$
平面$\Pi_2$ 的法向量 $\vec n_2 =(A_2,B_2,C_2)$
两平面夹角 $\theta$ 可由下列公式确定

$$\cos \theta = \frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

通过夹角的定义, 有以下推论:

• 两平面垂直，则$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
• 两法向量成比例时，两平面平行或重合；比例关系写为 $\vec n_1=\lambda\vec n_2$（$\lambda\ne0$），避免零分母。再比较常数项判断是否重合\