对于二维函数 $z = f(x, y)$ 的切平面，偏导数在某点 $(x_0, y_0)$ 的值确实是平面的法向量分量。这是因为偏导数提供了函数在这些方向上的局部线性逼近，也反映了函数在这些方向上的最快变化率。

解释

1. 切平面和梯度的关系：

   • 在多元微积分中，一个函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的梯度向量 $\nabla f(x_0, y_0)$ 定义为：

     $$\nabla f(x_0, y_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \right)$$

   • 梯度向量指向函数增长最快的方向。而对于函数 $z = f(x, y)$，梯度向量的负方向（或任何与梯度垂直的向量）可以视为等值面（本例中为等高线 $z = c$）的法向量。

2. 切平面的法向量构成：

   • 在三维空间中，函数 $z = f(x, y)$ 可以重写为隐函数形式 $F(x, y, z) = z - f(x, y) = 0$。
   • 这样的函数形式 $F(x, y, z) = 0$ 表示一个曲面，而曲面在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的法向量由 $\nabla F(x_0, y_0, z_0)$ 给出。
   • 对于 $F(x, y, z) = z - f(x, y)$，其梯度是：

     $$\nabla F = \left( -\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1 \right)$$

   • 此梯度向量事实上就是 $(x, y, z)$ 空间中曲面的法向量。

3. 法向量与切平面：

   • 切平面方程的一般形式依赖于法向量。在点 $(x_0, y_0, z_0)$，给定的法向量是 $(A, B, C) = \left( -\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1 \right)$。

• 因此，切平面方程可表示为：

  $$-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) - \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0) + (z - z_0) = 0$$

结论

通过上述解释，可以看到偏导数在给定点的值作为平面法向量的分量的原因：它们是函数在该点沿 $x$ 和 $y$ 方向的局部变化率，这些变化率直接影响了曲面在该点的方向性质，从而决定了切平面的方向。