用一系列函数的导数逼近复杂的函数表达(有时候也不见得简单)

$$f(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n$$

写成通项形式:

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

其中$x_0$为选择的展开点, $x_0$的选取不是固定的, 但是当从低阶导数开始累加展开时, $x_0$点的附近最先与原函数的值接近

如果选取的$x_0$离所求的点或区间过远则可能需要很高阶展开才能与原函数贴近, 所以在展开阶数固定的情况下, 正确选取$x_0$有助于提高近似程度

麦克劳林公式就是泰勒公式中取$x_0＝0$, 方便参与多项式化简, 但是对某些情况达到相同的精度会增加计算量, 甚至不可能趋近

泰勒公式的展开点并不是完全任意选取的，尽管在理论上可以在任何点展开泰勒级数，但不同的展开点会对级数的收敛性、精度以及计算量产生影响。在某些特殊情况下，泰勒级数展开的选点可能会导致不理想的结果：

• 奇点附近：如果函数在某一点附近有奇点（导数不存在或无穷大），那么以该点或奇点附近的点为展开点可能导致泰勒级数无法收敛，或者即使收敛，收敛速度也非常慢，难以得到准确的近似。
• 非解析函数：对于某些函数，它们在某些点附近无法展开为泰勒级数（即非解析函数），或者其泰勒级数在这些点无法收敛到函数值本身。在这些情况下，即使选择不同的展开点，也无法通过增加项数来提高精度。