广义二项式定理

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简介

广义二项式定理是普通二项式定理的推广，可视作几何级数在任意实指数下的形式化延伸。适用于幂指数为任意实数或复数的情况。在数学分析和无穷级数领域中，这是一个重要的工具，尤其在处理类似 $(1 - u)^{-k}$ 这种高次幂分母时。

公式的形式为：

(x + y)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^{\alpha-n} y^n, \quad |y/x| < 1,

其中：

\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-n+1)}{n!},

适用于 $n \geq 1$ ，而 $\binom{\alpha}{0} = 1$ 。

二项式定理
这是经典的二项式定理，且系数 $\binom{\alpha}{n}$ 的定义与普通组合数一致。

当 $\alpha$ 是非整数时，展开变为无穷级数。这时公式依赖广义二项式系数的定义，将其扩展到任意实数或复数。

对于 $(1+x)^\alpha$ ，当 $|x| < 1$ 时，可以直接展开为：

(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n,

其中广义二项式系数为：

\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}.

这是复分析和级数展开中更常用的形式

三种常见展开都是同一核心公式 $(1+x)^\alpha=\sum_{k\ge0}\binom{\alpha}{k}x^k$ 的特例（ $\alpha$ 不是非负整数时需 $|x|<1$ ）：

指数 $\alpha$	系数	展开	对应主题
$-1$	$\binom{-1}{k}=(-1)^k$	$\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$	几何级数（公比 $-x$ ）
$m\in\mathbb{N}^+$	$\binom{m}{k}=\dfrac{m!}{k!(m-k)!}$	$(1+x)^m=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}x^k$	二项式定理， $k>m$ 时系数为零，展开自然截断
$\dfrac{1}{2}$	$\binom{1/2}{1}=\dfrac12,\ \binom{1/2}{2}=-\dfrac18,\ \binom{1/2}{3}=\dfrac1{16}$	$\sqrt{1+x}=1+\dfrac12x-\dfrac18x^2+\dfrac1{16}x^3-\cdots$	开方； $\alpha=-\dfrac12$ 时系数含双阶乘

$\alpha$ 为非负整数时展开是有限项； $\alpha$ 为其他实数或复数时是无穷级数，须满足 $|x|<1$ 才收敛。

若矩阵 $N$ 幂零（ $N^p=0$ ），则 $(I+N)^\alpha$ 的展开从 $k=p$ 起全部为零，截断为有限和：

(I+N)^\alpha=\sum_{k=0}^{p-1}\binom{\alpha}{k}N^k=I+\alpha N+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}N^2+\cdots

$\alpha=-1$ ： $(I+N)^{-1}=\sum_{k=0}^{p-1}(-N)^k$ ，即几何级数代入 $x=-N$ 的矩阵版本；有限项和保证 $I+N$ 可逆。
$\alpha=m\in\mathbb{N}^+$ ：系数 $\binom{m}{k}$ 在 $k>m$ 后为零，若 $p>m$ 自动截断到 $m$ 项。