散度

定义

散度（divergence）

向量场的散度是该点附近体积元内向量场流出量与体积元体积之比的极限，描述场的局部“源”或“汇”的强度。
散度可由向量微分算子表示为：

$$\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}.$$

二维

在二维情况下，设向量场 $\mathbf{F} = (P(x, y), Q(x, y))$，其散度为：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}.$$

此结果可以看作三维散度的特例，即令 $\mathbf{F} = (P, Q, 0)$，则有：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}.$$

把二维场扩展为不依赖 $z$ 的三维场 $(P,Q,0)$ 后，三维散度与原二维散度相同；散度本身是标量，不是向量投影

三维

在三维空间中，向量场 $\mathbf{F} = (F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z))$ 的散度定义为：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.$$

散度为标量场，其正负表示该点为“源”（流出）或“汇”（流入）。

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应用

• 物理意义：在流体力学中，散度描述流体的压缩或膨胀程度。若 $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$，则称该流体为不可压缩流。
• 数学性质：对 $C^2$ 场，散度与旋度满足 $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0$，并出现在高斯散度定理中：

  $$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}.$$

若 $\mathbf F\in C^1$，局部通量定义可取以点 $p$ 为中心、半径 $r$ 的小球：

$$\nabla\cdot\mathbf F(p)=\lim_{r\to0}\frac{1}{|B_r|}\iint_{\partial B_r}\mathbf F\cdot\mathbf n_{\rm out}\,dS.$$

由高斯公式，右侧是散度在小球上的平均值，连续性保证趋向点值。这里分母是体积；穿过一个面的通量密度则是 $\mathbf F\cdot\mathbf n$，两者不同。