弧微分

弧微分公式

$$ds=\sqrt {1+{y'}^{2}}|dx|$$

以上形式只是y可以表示为x的函数y=f(x)时的计算公式
如果f(x)是隐函数, 无法用初等代数表示, 仍可在满足隐函数定理的分支上用 $y'=-F_x/F_y$ 代入；若投影不是单调的一片，再分段或参数化

一般形式

$$ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}|dt|$$

弧微分的积分

显然, 对弧微分的积分就是曲线的弧长

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$$

积分公式中按递增参数从 $a$ 到 $b$（$a<b$）计算，写作 $\|\mathbf r'(t)\|\,dt$。标量弧长不随曲线方向改变；空间曲线增加 $(dz/dt)^2$ 一项，见空间曲线。