一般方程

空间曲线通常由两个非线性方程组定义，表达空间中点 $(x, y, z)$ 必须满足的条件：

$$\begin{align*} F(x, y, z) &= 0, \\ G(x, y, z) &= 0. \end{align*}$$

这两个方程定义的是两个曲面的交线，即该曲线是这两个曲面的交集。

参数方程

空间曲线的参数方程通过参数 $t$ 描述曲线上每一点，形式为：

$$\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)),$$

其中 $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ 是关于 $t$ 的实值函数。这种形式便于进行几何分析，如计算切线、曲率和曲线积分。

螺旋线的参数方程

螺旋线，特别是圆柱螺旋线的标准参数方程为：

$$\mathbf{r}(t) = (a\cos(t), a\sin(t), bt),$$

这里 $a$ 是螺旋半径，$b$ 是高度变化与参数 $t$ 成正比的螺距。

曲面的参数方程

曲面的参数化通常用两个参数描述，如球面的参数方程：

$$\mathbf{r}(u, v) = (r\sin(u)\cos(v), r\sin(u)\sin(v), r\cos(u)),$$

其中 $u \in [0, \pi]$, $v \in [0, 2\pi]$, $r$ 是球面半径。

空间曲线在坐标面上的投影

空间曲线的坐标面投影通过忽略某一坐标实现，具体为：

• 在 $xy$-平面上：保留 $x(t)$ 和 $y(t)$，忽略 $z(t)$。
• 在 $xz$-平面上：保留 $x(t)$ 和 $z(t)$，忽略 $y(t)$。
• 在 $yz$-平面上：保留 $y(t)$ 和 $z(t)$，忽略 $x(t)$。 这些投影对于工程设计和三维视觉分析极为重要。

空间曲线的切线与法平面

切线

空间曲线在参数 $t$ 处的切线由一阶导数 $\mathbf{r}'(t)$ 确定，表示为：

$$\mathbf{r}'(t) = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right),$$

如果 $\mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0}$，则该点的切线方程为：

$$\mathbf{r}(s) = \mathbf{r}(t) + s\mathbf{r}'(t),$$

其中 $s$ 是实数参数。

法平面

法平面由切线向量 $\mathbf{r}'(t)$ 和二阶导数 $\mathbf{r}''(t)$ 的叉积 $\mathbf{n}(t)$ 定义，即：

$$\mathbf{n}(t) = \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t),$$

法平面的方程通过点法式表达：

$$\mathbf{n}(t) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{r}(t)) = 0,$$

其中 $\mathbf{x} = (x, y, z)$。

曲率与挠率

曲率 $\kappa$ 描述曲线的弯曲程度，挠率 $\tau$ 描述曲线偏离振荡平面的程度：

$$\kappa = \frac{\|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3},$$

$$\tau = \frac{(\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)) \cdot \mathbf{r}'''(t)}{\|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\|^2}.$$

弧长计算

弧长通过积分计算得出：

$$s = \int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt,$$

其中 $a$ 和 $b$ 定义了积分区间。