变分法

变分法研究以函数为未知量的极值问题。有限维极值中的“取扰动、展开、令一阶项为零、检查二阶项”是它的入门方法；函数空间中的边界条件和收敛性质进一步决定哪些变化允许、候选解是否真正取到极小值。

基本问题

给定积分函数 $L(x,u,p)$，寻找容许函数 $y$，使

$$J[y]=\int_a^b L(x,y(x),y'(x))\,dx$$

取极小值。$J$ 称为泛函，边界条件、正则性与其他约束共同确定容许集。具体设定见泛函与容许变分。

学习从有限维极值与变分法开始：对普通函数改变向量，对泛函改变整条函数曲线。两者都可沿实参数 $\varepsilon$ 求导，但无穷维空间中的极小值判别与存在性需要额外条件。

驻值、极小与存在性

• 第一变分为零给出驻值必要条件；在相应光滑性和边界条件下，由变分法基本引理导出Euler-Lagrange方程。
• 第二变分考察驻值附近的二次变化；凸泛函的极小值判别给出由驻值推出全局极小的一条途径。
• 自然边界条件和等周约束变分问题说明约束如何改变允许的扰动与驻值方程。
• 变分法的直接方法用极小化序列、弱收敛和下半连续性证明极小元存在。经典一阶变分的入门计算可以先学，函数空间与紧性理论在进入这一步时系统补足。

驻值方程的解不自动是极小元；找到局部极小也不自动证明全局最小。存在性、必要条件和充分条件各自回答不同的问题。

与其他分支的联系

多元函数极值、梯度和海塞矩阵提供有限维直觉；泛函分析与Sobolev 空间为直接方法和弱解提供语言。Dirichlet原理把调和函数与能量极小联系起来，特征值的变分刻画处理归一化约束，Galerkin方法和有限元方法把函数空间中的问题近似为有限维问题。

参考

• Riccardo Cristoferi：Calculus of Variations 课程：经典变分法的必要条件、充分条件与约束问题。