第二变分

第一变分刻画驻值条件，第二变分进一步描述驻值附近的二次变化，对应有限维优化中由 海塞矩阵给出的二次型。

设

$$J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx,$$

其中 $L\in C^2$，固定端点值，$y,\eta\in C^1[a,b]$，且 $\eta(a)=\eta(b)=0$。记 $p$ 为 $L$ 的第三个自变量。第二变分采用下述约定：

$$\delta^2J[y](\eta,\eta) =\left.\frac{d^2}{d\varepsilon^2} J[y+\varepsilon\eta]\right|_{\varepsilon=0}.$$

沿 $(x,y(x),y'(x))$ 计算各偏导，有

$$Q_y[\eta] =\int_a^b \left(L_{yy}\eta^2+2L_{yp}\eta\eta' +L_{pp}(\eta')^2\right)\,dx.$$

因此，固定方向 $\eta$ 时，

$$J[y+\varepsilon\eta] =J[y]+\varepsilon\delta J[y](\eta) +\frac{\varepsilon^2}{2}Q_y[\eta] +o(\varepsilon^2).$$

这里第二变分本身不含 $1/2$；该系数出现在 Taylor 展开中。

极小值的必要条件

若 $y_*$ 是 $C^1$ 范数意义下的局部极小点，则每个允许方向都满足

$$\delta J[y_*](\eta)=0,\qquad Q_{y_*}[\eta]\ge0.$$

因为 $\varepsilon\mapsto J[y_*+\varepsilon\eta]$ 在零点取得局部极小值。若某方向使 $Q_{y_*}[\eta]<0$，便可排除极小值；半正定本身不能确认极小值。

充分条件中的统一性

即使每个非零方向都有 $Q_{y_*}[\eta]>0$，在无限维空间中，也不能直接照搬有限维正定 Hessian 的判别法：单位方向的二次型值可能趋于零，而逐方向余项估计未必给出统一邻域。

一种明确的充分条件是：在选定的扰动范数 $\|\cdot\|_X$ 下，$y_*$ 驻值，且对所有允许扰动

$$Q_{y_*}[h]\ge c\|h\|_X^2,\qquad c>0,$$

同时存在统一展开

$$J[y_*+h]-J[y_*] =\frac12Q_{y_*}[h]+r(h),\qquad r(h)=o(\|h\|_X^2).$$

前一条件称为一致正定性或强制性（coercivity）。当 $\|h\|_X$ 足够小时，$|r(h)|\le c\|h\|_X^2/4$，于是

$$J[y_*+h]-J[y_*]\ge\frac c4\|h\|_X^2>0 \quad(h\ne0).$$

这证明该范数下的严格局部极小。使用结论前，必须核对下界与余项所用的范数；仅有积分表达式的光滑性，不能自动替代这些条件。