自然边界条件

自然边界条件由第一变分的边界项产生。这里始终固定积分区间 $[a,b]$；“端点自由”是指 $y(a)$ 或 $y(b)$ 的值可以自由变化。

设

$$J[y]=\int_a^bL(x,y,y')\,dx,$$

其中 $L\in C^2$，候选极值函数 $y_*\in C^2[a,b]$。用 $p$ 表示 $L$ 的第三个自变量。对允许扰动 $\eta\in C^1[a,b]$，分部积分得到

$$\delta J[y_*](\eta) =\int_a^b\left(L_y-\frac d{dx}L_p\right)\eta\,dx +\left[L_p\eta\right]_a^b,$$

所有偏导均沿 $(x,y_*,y_*')$ 取值。

先选取端点为零的扰动，由变分法基本引理得到区间内部的 Euler-Lagrange方程：

$$L_y-\frac d{dx}L_p=0.$$

驻值条件于是只剩

$$L_p(b,y_*(b),y_*'(b))\eta(b) -L_p(a,y_*(a),y_*'(a))\eta(a)=0.$$

从端点自由度确定条件

若 $y(a)=A$ 已给定，则必须有 $\eta(a)=0$；左端的边界项自动消失，不再额外要求 $L_p(a)=0$。

若 $y(b)$ 自由，$\eta(b)$ 可以任取，因此必须有

$$L_p(b,y_*(b),y_*'(b))=0.$$

同理，左端值自由时必须有 $L_p(a,y_*(a),y_*'(a))=0$。若两端值彼此独立地自由，两端条件同时成立。

这些条件与内部方程一起构成极值函数需要满足的边值问题。它们表达驻值的必要条件，并不单独保证解存在、唯一或确为极小值。若端点值受到相互联系的约束，应保留边界项并使用实际允许的端点扰动，不能直接令两个系数分别为零。

一个例子

取连续函数 $f$，考虑

$$J[y]=\int_a^b\left[\frac12(y')^2-f(x)y\right]dx, \qquad y(a)=A,\quad y(b)\text{ 自由}.$$

此时 $L_y=-f$、$L_p=y'$，故必要条件为

$$-y_*''=f,\qquad y_*(a)=A,\qquad y_*'(b)=0.$$

其中 $y_*(a)=A$ 是题设给定的条件，$y_*'(b)=0$ 则由自由端点的变分导出。一般的自然边界条件是 $L_p=0$；只有在本例这类 $L_p=y'$ 的情形下，它才化为导数为零。