第一变分

定义与积分公式

设 $J$ 是泛函，$y$ 是容许函数，$\eta$ 是容许变分方向，并且 $y+\varepsilon\eta$ 对充分小的正、负 $\varepsilon$ 都容许。若导数存在，定义

$$\delta J[y;\eta] =\left.\frac{d}{d\varepsilon}J[y+\varepsilon\eta]\right|_{\varepsilon=0}.$$

第一变分描述泛函沿指定方向的一阶变化。“变分”不是把函数值任意替换，而是先选方向，再对参数求导。

对于

$$J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx,$$

假设 $y,\eta\in C^1([a,b])$，$L$ 及其关于第二、第三变量的偏导数 $L_y,L_{y'}$ 连续。沿扰动曲线的链式法则给出

$$\boxed{\delta J[y;\eta] =\int_a^b\left( L_y(x,y,y')\eta+ L_{y'}(x,y,y')\eta' \right)\,dx.}$$

这些连续性条件在有限闭区间上允许交换求导与积分。公式右端对 $\eta$ 线性，并且关于 $C^1$ 范数连续。

驻值必要条件

若 $y_*$ 是局部极小函数，对每个双向容许方向定义

$$\phi(\varepsilon)=J[y_*+\varepsilon\eta].$$

由于 $\phi$ 在 $\varepsilon=0$ 取得局部极小，一元微分学说明 $\phi'(0)=0$，因此

$$\delta J[y_*;\eta]=0 \qquad\text{对所有容许变分方向 }\eta.$$

满足这个条件的函数称为驻值函数。若约束只允许单向扰动，必要条件一般是相应的一阶不等式，不能直接要求第一变分为零。

这与多元函数极值中的

$$Df(z)[h]=\nabla f(z)\cdot h=0 \qquad\text{对所有 }h$$

相对应。在上述积分泛函的正则性条件下，第一变分是作用于方向的连续线性泛函；只有指定合适的内积及表示条件后，才能进一步谈它所对应的梯度。

驻值不保证极小

在固定端点 $y(a)=y(b)=0$ 的容许集中，令

$$J[y]=\int_a^b y(x)^3\,dx.$$

在 $y=0$ 处，对所有方向都有 $\delta J[0;\eta]=0$。但取区间内部非负且不恒为零的容许方向 $\eta$，则

$$J[\varepsilon\eta]=\varepsilon^3\int_a^b\eta^3\,dx$$

随 $\varepsilon$ 的正负改变符号，所以零函数既不是局部极小，也不是局部极大。驻值条件筛选候选函数，极值性质还需要进一步判别。

将积分形式的驻值条件转成微分方程，需要变分法基本引理。