Euler-Lagrange方程

变分问题中，泛函取极小的必要条件是其一阶变分为零；Euler–Lagrange 方程正是把这一条件具体化为关于未知函数的常/偏微分方程，是变分法的核心工具。需先掌握泛函与容许变分、第一变分和变分法基本引理；它延续多元函数极值的驻点思想，严格推导依赖分部积分与边界条件。

Euler–Lagrange 方程

对泛函 $J(u)=\int_a^b F(x,u(x),u'(x))\,dx$，设 $F\in C^2$，候选函数 $u\in C^2([a,b])$ 且 $u(a),u(b)$ 固定。若 $u$ 是容许函数中的 $C^1$ 局部极值，则必要条件是

$$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u'}=0$$

对多变量函数 $u(x_1,\dots,x_n)$，若 $F,u$ 具有上述对应光滑性，并使用紧支集内部扰动，对应的内部方程为

$$\frac{\partial F}{\partial u}-\sum_i\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial F}{\partial u_{x_i}}=0$$

推导要点

• 对单参数扰动 $u+\varepsilon v$（$v$ 在端点为零），极值条件 $\frac{d}{d\varepsilon}J(u+\varepsilon v)\big|_{\varepsilon=0}=0$ 给出

  $$\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial u}v+\frac{\partial F}{\partial u'}v'\right)dx=0$$

• 对第二项分部积分并利用 $v(a)=v(b)=0$，消去边界项，由 $v$ 任意性得 Euler–Lagrange 方程（变分法基本引理）

自由端点还须满足自然边界条件；仅解内部方程不能替代边界条件。

例子

• 测地线：长度泛函 $\int\sqrt{1+y'^2}\,dx$ 的极小曲线为直线（见测地线）；球面上的测地线为大圆的弧段，最短性须结合弧长与端点判断
• 最速降线：$\int_0^a\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}\,dx$ 在适当端点与下降分支条件下的极小曲线为摆线
• 极小曲面：面积泛函的 Euler–Lagrange 方程即平均曲率为零（见极小曲面）
• 不显含 $x$ 的情形：$\frac{\partial F}{\partial x}=0$ 时存在首次积分 $F-u'\frac{\partial F}{\partial u'}=\text{const}$（能量守恒形式，推导与回代要求见变分问题的首次积分）

与泛函分析的联系

在满足空间自反性、容许集弱闭性、有界极小化序列与弱下半连续性等条件时，变分法的直接方法保证极小元存在。Euler–Lagrange 方程给出驻值必要条件；对凸可微泛函和仿射容许集，驻值条件也是全局极小的充分条件，见凸泛函的极小值判别。一般凸约束集上的一阶条件写成变分不等式，并与弱解（偏微分方程）理论衔接。

后续

Euler–Lagrange 方程是力学（辛几何与哈密顿力学）与最优控制的基础；其正常约束版本（Lagrange 乘子，见等周约束变分问题）导出特征值问题，见特征值的变分刻画。