泛函与容许变分

有限维优化把向量作为未知量，变分法把函数作为未知量。描述曲线的整个函数 $y$ 都参与比较，而不只是某一点的函数值。

泛函与容许集

泛函是以函数为自变量、以数为值的映射。本节研究实值积分泛函

$$J[y]=\int_a^b L(x,y(x),y'(x))\,dx,\qquad a<b.$$

其中 $L(x,u,p)$ 是给定函数，$y$ 是待求函数。选择 $y\in C^1([a,b])$ 且假设 $L$ 连续，就能保证上述积分存在。

函数必须满足的问题条件组成容许集。例如固定端点问题的容许集为

$$\mathcal A=\{y\in C^1([a,b]):y(a)=\alpha,\ y(b)=\beta\}.$$

$\mathcal A$ 一般是仿射集合，而不是线性空间；两个容许函数之差属于

$$V=\{\eta\in C^1([a,b]):\eta(a)=\eta(b)=0\}.$$

对给定 $y\in\mathcal A$，取 $\eta\in V$，得到变动后的函数

$$y_\varepsilon=y+\varepsilon\eta.$$

这里 $\varepsilon$ 控制改变量，$\eta$ 指定改变形状的方向，称为容许变分方向。固定端点要求 $\eta$ 在两端为零，但区间内部可以自由变化。若另有不等式或积分约束，就必须重新检查 $y_\varepsilon$ 是否仍然容许。

局部极小与函数之间的距离

讨论“附近的函数”必须先指定范数。本节采用

$$\|y\|_{C^1}=\max_{x\in[a,b]}|y(x)| +\max_{x\in[a,b]}|y'(x)|.$$

设 $y_*\in\mathcal A$。若存在 $r>0$，使得

$$y\in\mathcal A,\quad \|y-y_*\|_{C^1}<r \quad\Longrightarrow\quad J[y]\ge J[y_*],$$

则称 $y_*$ 是相对于 $C^1$ 范数的局部极小函数。若对所有 $y\in\mathcal A$ 都成立，则是全局极小函数。

范数属于问题设定的一部分：只要求函数值接近，与同时要求函数值和导数接近，得到的邻域不同。经典变分法把 $C^1$ 意义下的局部极小称为弱极小，把 $C^0$ 意义下的局部极小称为强极小；这里的“弱”不指泛函分析中的弱拓扑。

沿 $y+\varepsilon\eta$ 比较泛函值，便把函数优化转化为关于实参数 $\varepsilon$ 的微分问题，由此引出第一变分。