等周约束变分问题

等周约束是对整个函数施加的积分条件。典型问题是在给定端点值

$$y(a)=A,\qquad y(b)=B$$

及约束

$$K[y]=\int_a^bG(x,y,y')\,dx=k$$

下，寻找

$$J[y]=\int_a^bL(x,y,y')\,dx$$

的极值。$k$ 是给定常数。与逐点条件不同，积分约束只固定一个总量，并不要求 $G$ 在每一点等于某个指定值。

正常情形的乘子法

设 $L,G\in C^2$，$y_*\in C^2[a,b]$ 是上述可行函数中的 $C^1$ 局部极值点。记 $p$ 为积分函数的第三个自变量，并假设约束第一变分不恒为零：存在满足齐次端点条件的 $\eta$，使

$$\delta K[y_*](\eta) =\int_a^b(G_y\eta+G_p\eta')\,dx\ne0.$$

这是本问题的正常性条件。此时存在常数 $\lambda$，使所有满足 $\eta(a)=\eta(b)=0$ 的扰动均满足

$$\delta J[y_*](\eta)+\lambda\delta K[y_*](\eta)=0.$$

令增广积分函数

$$F=L+\lambda G,$$

便得到 Euler-Lagrange方程

$$F_y-\frac d{dx}F_p=0.$$

$\lambda$ 是与单个积分约束对应的常数；求解时须联立此方程、原端点条件与 $K[y]=k$，确定积分常数和乘子。

这里不能假定任意直线扰动 $y_*+\varepsilon\eta$ 都保持积分约束。证明中可借助约束导数非零的另一方向，修正扰动，使其留在可行集合中。

边界与异常情形

若某个端点值自由，正常情形下应对增广积分函数使用自然边界条件，例如右端自由时

$$F_p(b,y_*(b),y_*'(b))=0.$$

此时正常性也应相对于实际允许的端点扰动检验。

若 $\delta K[y_*]$ 恒为零，则不能保证存在以目标系数为 $1$ 的乘子公式。一般应保留

$$\lambda_0\delta J[y_*]+\lambda_1\delta K[y_*]=0, \qquad(\lambda_0,\lambda_1)\ne(0,0),$$

并考虑 $\lambda_0=0$ 的异常情形。异常条件可能只反映约束本身，需另外分析目标在可行集合上的变化。

无论正常还是异常，乘子方程首先用于筛选候选解；确认极小值还需比较泛函值，或检验约束下相应的第二变分。