变分法的直接方法

许多偏微分方程与几何问题可以改写为能量泛函在函数空间中取极小值。变分法的直接方法通过极小化序列证明极小元存在，把微分方程与泛函分析中的有界性、收敛和紧性联系起来。需先掌握赋范空间的定义与弱收敛；Rellich–Kondrachov紧嵌入与凸性经常用于验证具体问题所需的紧性和下半连续性。

变分问题的直接方法

设 $X$ 是自反巴拿赫空间，$\mathcal A\subset X$ 非空且弱序列闭。设 $\mathcal E:\mathcal A\to\mathbb R$ 弱序列下半连续、在 $\mathcal A$ 上强制，即 $\|u\|_X\to\infty$ 时 $\mathcal E(u)\to+\infty$，并设 $m=\inf_{\mathcal A}\mathcal E$ 为有限实数。则 $\mathcal E$ 在 $\mathcal A$ 上取得最小值。

典型空间为 $W^{1,p}_0(\Omega)$，其中 $1<p<\infty$，见Sobolev空间的基本性质。约束集的弱序列闭性保证极限仍然满足约束。

直接方法的三步

1. 取极小化序列：选 $u_n\in\mathcal A$，使 $\mathcal E(u_n)\to m$；强制性保证 $\{u_n\}$ 有界。
2. 找弱收敛子列：由自反空间的弱紧性及 Eberlein–Šmulian 定理，提取 $u_{n_k}\rightharpoonup u_*$；$\mathcal A$ 弱序列闭给出 $u_*\in\mathcal A$。
3. 证明极限是极小元：弱下半连续性给出

   $$m\le\mathcal E(u_*)\le\liminf_{k\to\infty}\mathcal E(u_{n_k})=m,$$

   因而 $\mathcal E(u_*)=m$。

强制性是使极小化序列有界的一种充分条件；若问题已能直接证明存在有界的极小化序列，也可以从第二步开始。紧嵌入与凸性是常用工具，不是每个变分问题都必须额外具备的同一组假设。

与偏微分方程的联系

• 对可微泛函及双向容许方向，极小元的第一变分为零；若极小元足够光滑，可导出Euler-Lagrange方程。对 $J(u)=\int F(x,u,\nabla u)$，方程是否椭圆还需检查 $F$ 关于梯度变量的相应正定性条件
• 在有界 Lipschitz 区域 $\Omega$ 上，给定 $f\in L^2(\Omega)$，Dirichlet 能量 $\mathcal E(u)=\frac12\int_\Omega|\nabla u|^2-\int_\Omega fu$ 在 $H^1_0(\Omega)$ 上的极小元正是零边界泊松方程的弱解（见Dirichlet原理）
• 固定边界通过容许集与变分方向编码；固定 $L^p$ 范数等积分约束在正常性条件下用 Lagrange 乘子处理，见等周约束变分问题。特征值问题是约束能量极小的重要实例（见特征值的变分刻画）

后续

变分法向下衔接Galerkin方法与有限元方法（极小元在有限维子空间上的近似），向上发展为变分不等式与临界点理论（山路引理），是现代偏微分方程与最优控制的标准语言。