简介
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简介
矩阵的形式是将代数元素按行和列组合在一起
矩阵不只是形式上的元素集合,而是线性代数的本质结构：线性算子和线性对象。在这种代数结构下定义的矩阵运算满足线性,因此:
- 矩阵空间本身就是一个线性空间,在这个线性空间中,矩阵可以线性相加 数乘,并服从线性空间的所有公理
- 矩阵乘法也可以表示线性映射(线性变换) 矩阵乘法对应于两个线性空间之间的线性映射. 反过来说, 只要知道一个变换是线性的, 那么这个变换一定可以表示为一个矩阵.
矩阵在矩阵乘法中作为前项时称为变换，个人认为这是庸俗的理解，在线性代数中，我们使用矩阵同时表示变换和操作对象，实际上是对两者本质结构的统一，一个矩阵既可以作为操作对象出现，也可以作为算子出现
矩阵性质
逆矩阵
- 逆矩阵是矩阵乘法产生的逆元. 只有方阵才可能有逆。矩阵的逆在解决线性方程组和其他代数问题中扮演关键角色。
特征值和特征向量
- 描述了线性变换中的不变量，用于分析矩阵的性质，如稳定性和动力学行为。
迹
- 矩阵的迹是主对角线上元素的和，它在很多理论推导和实际应用中有着特别的重要性。
行列式
- 行列式提供了矩阵变换的“缩放因子”，在计算矩阵的逆和解决线性方程组时非常重要。
矩阵的秩
- 矩阵的秩提供了线性独立列（或行）的数量，是矩阵线性依赖结构的一个基本度量。
正定/半正定
- 这涉及到矩阵的特征值。正定性在优化问题和机器学习模型中尤为重要。