逆矩阵

对于$n$阶矩阵$A$，如果存在$n$阶矩阵$B$，使得:

$$AB=BA=E$$

称$A$可逆，且$B$称为$A$逆矩阵，记作:$A^{-1}=B$。

性质

• 定理 1: 若$A$可逆，则$|A|\neq 0$。
• 定理 2: 若$|A|\neq 0$，则$A$可逆，且$A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}$。
• 推论: 若$A$为$n$阶方阵，若$AB=E$(或$BA=E$)，则$A$可逆，且$A^{-1}=B$。
• 如果一个方程组没有唯一解或者没有解时，那么该方程组的系数矩阵就不是可逆的。

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计算

伴随矩阵法

伴随矩阵法

高斯消元法

高斯消元法
LUD
QRD

推论

对于二阶矩阵

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

若 $|A| = ad - bc \neq 0$，则 $A$ 可逆，逆矩阵可以快速计算：

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$