行列式是一个数，它与一个方阵相关联，并用于描述该方阵的一些性质。 给定一个 $n \times n$ 的方阵A，行列式可以表示为det(A)或|A|。 行列式的定义可以通过递归地将方阵拆分为更小的子方阵来得到。

对于2 x 2的方阵：

$$A= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$$

行列式

$$det(A) =\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

运算规则

• 整行/列加减,值不变:

$$\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{11} & x_{11}+x_{12} \\ x_{21} & x_{21}+x_{22} \end{vmatrix}$$

• 整行/列数乘, 值不变(可由前一项规则推导得到)

$$c\cdot \begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c\cdot x_{11} & x_{12} \\ c\cdot x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}$$

• 交换行/列, 改变正负

$$\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}= -\begin{vmatrix} x_{21} & x_{22} \\ x_{11} & x_{12} \end{vmatrix}$$

• 若有两行/列成比例，即对应矩阵不满秩，则行列式＝0

$$\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{11} & c\cdot x_{11} \\ x_{21} & c\cdot x_{21} \end{vmatrix}= 0$$

• 按行列加法拆分

$$\begin{vmatrix} x_{11}+a & x_{12}+b \\ x_{21}+c & x_{22}+d \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a & x_{12} \\ c & x_{22} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} x_{11} & b \\ x_{21} & d \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$

• 拉普拉斯展开法降阶($x_{1n}$ 不全为0也可以用哦)

$$\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{vmatrix} = x_{11}\begin{vmatrix} x_{22} & x_{23} \\ x_{32} & x_{33} \end{vmatrix}- x_{12}\begin{vmatrix} x_{21} & x_{23} \\ x_{31} & x_{33} \end{vmatrix}+ x_{13}\begin{vmatrix} x_{21} & x_{22} \\ x_{31} & x_{32} \end{vmatrix}$$

性质

行列式性质

解题技巧

• 凑出相同行列
• 提取公因数
• 高阶优先降阶
• 降阶善用立方差公式

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行列式、全排列、对换和逆序数

关键字抽取：

$$|\boldsymbol{A}| =|a_{ij}| =\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\\\end{matrix}\right|=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}$$

$$|\boldsymbol{A}| = \sum \left ( -1 \right ) ^{t} a_{1p_1} a_{2p_2} \dots a_{np_n} = \underbrace{\overbrace{\left ( -1 \right )^{k1}}^{(2)} \overbrace{ a_{11}a_{22} \dots a_{nn}}^{(1)} + \dots + \left ( -1 \right )^{k2}a_{12}a_{2n}\dots a_{n1}}_{(3)}$$

Question

1. 每一项的元素如何取？
2. 系数是+1，还是-1？
3. 一共有多少项？

$p_{1} p_{2} \dots p_{n}$ 是数字$1 \dots n$ 的一个全排列。

Quote

全排列，就是不遗漏，不重复的将所有数字排在一起。

从n个不同元素中任取$m \ (m≤n)$个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。当 $m=n$ 时所有的排列情况叫全排列。

公式：全排列数 $f(n)=n!$ (定义 $0!=1$ )

$$\begin{matrix}2&1&4&5&3\\p_1&p_2&p_3&p_4&p_5\end{matrix}$$

（1）一个全排列，对应了一组 $a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}$

$$2\quad1\quad4\quad5\quad3\Longrightarrow a_{12}a_{21}a_{34}a_{45}a_{53}$$

（2）系数到底是正数还是负数，取决于幂指数的值，而它可以由全排列决定。全排列就能决定系数是+1，还是-1

$$2\quad1\quad4\quad5\quad3\Longrightarrow \left ( -1 \right ) ^{t} a_{12}a_{21}a_{34}a_{45}a_{53}$$

幂指数的值被称为逆序数。就是用相邻对换的方式，将全排列，变为顺序排列所用的次数。

下面，我们就来计算一下全排列$2 \: 1 \: 4 \: 5 \: 3$的逆序，首先将前两个位置上的数2 1进行比较，可以看到，前面的数比后面的数大，因此需要交换顺序，此时交换次数为1，寻找一对逆序数，完成交换，交换数+1，直到变成顺序排列。发送的总交换次数为逆序数。（冒泡排序？）

一个全排列 $2\quad1\quad4\quad5\quad3\Longrightarrow a_{12}a_{21}a_{34}a_{45}a_{53}$ ； 除此以外，也对应了一个逆序数。

$$1\quad2\quad3\quad\Longrightarrow(-1)^{0}a_{11}a_{22}a_{33}$$

从而确定系数是+1还是-1。

3!\left\{ \begin{gathered} \begin{matrix}{1}&{2}&{3}& _{t=0}\end{matrix} \Longrightarrow(-1)^0a_{11}a_{22}a_{33} \\ \begin{matrix}{1}&{3}&{2}& _{t=1}\end{matrix} \Longrightarrow(-1)^1a_{11}a_{23}a_{32} \\ 2\quad1\quad3\quad _{t=1} \Longrightarrow(-1)^1a_{12}a_{21}a_{33} \\ \begin{matrix}{2}&{3}&{1}& _{t=2}\\\end{matrix} \Longrightarrow(-1)^2a_{12}a_{23}a_{31} \\ \begin{matrix}{3}&{1}&{2}& _{t=2}\\\end{matrix} \Longrightarrow(-1)^2a_{13}a_{21}a_{32} \\ \begin{matrix}{3}&{2}&{1}& _{t=3}\\\end{matrix} \Longrightarrow(-1)^3a_{13}a_{22}a_{31} \end{gathered} \right.

（3）而所有全排列的个数，就是多项式的项数、123三个数的全排列，就有 $3!$ ，6个。

$$\begin{aligned}(-1)^0a_{11}a_{22}a_{33}\quad(-1)^1a_{11}a_{23}a_{32}\quad(-1)^1a_{12}a_{21}a_{33}\$-1)^2a_{12}a_{23}a_{31}\quad(-1)^2a_{13}a_{21}a_{32}\quad(-1)^3a_{13}a_{22}a_{31}\end{aligned}$$

将此各项加起来，其结果就是 $|\boldsymbol{A}|_{3}$ 三阶行列式的值.