矩阵乘法

矩阵乘法是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积. 矩阵可以用来表示线性映射，矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。

定义

设 $A$ 是 $n \times m$ 的矩阵，$B$ 是 $m \times p$ 的矩阵，则它们的矩阵积 $AB$ 是 $n \times p$ 的矩阵。$A$ 中每一行的 $m$ 个元素都与 $B$ 中对应列的 $m$ 个元素对应相乘，这些乘积的和就是 $AB$ 中的一个元素。

$$A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & \dots \end{bmatrix}$$

$$B = \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_{1} \\ B_{2} \\ \vdots \end{bmatrix}$$

其中 $A_{1}$ 是由所有 $a_{x,1}$ 元素所组成的向量 (column)， $A_{2}$ 是由所有 $a_{x,2}$ 元素所组成的向量，以此类推。 $B_{1}$ 是由所有 $b_{1,x}$ 元素所组成的向量 (row)， $B_{2}$ 是由所有 $b_{2,x}$ 元素所组成的向量，以此类推。 则

$$AB = \begin{bmatrix} a_{1,1} \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \end{bmatrix} + a_{1,2} \begin{bmatrix} b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \end{bmatrix} + \cdots \\ a_{2,1} \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \end{bmatrix} + a_{2,2} \begin{bmatrix} b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \end{bmatrix} + \cdots \\ \vdots \end{bmatrix} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + \cdots$$

性质

• 满足结合律
• 满足分配律 矩阵乘法并不满足交换律. 有了乘法, 便可以定义矩阵的幂

示例

+

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} + 0 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \\ -1 \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$$

推论(P122)

若$$A=PBP^{-1}$$ 则$$A^k=PBkP^{-1}$$ A的多项式$$\phi(A)=P\phi(B)P^{-1}$$