分块矩阵乘法

分块矩阵乘法是一种矩阵计算的等价表示形式，其本质是基于矩阵的分块表示后，仍遵循矩阵乘法规则（即考虑到交叉项的贡献）。假设矩阵 $A$ 和 $B$ 分块为：

$$A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix},$$

其中每个 $A_{ij}$ 和 $B_{ij}$ 是 $4 \times 4$ 的子矩阵。

按照矩阵乘法的定义，矩阵 $C = A \times B$ 的分块表示为：

$$C = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix},$$

其中：

$$C_{11} = A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21}, \quad C_{12} = A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22},$$

$$C_{21} = A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21}, \quad C_{22} = A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22}.$$

这与直接计算矩阵 $A \times B$ 的结果完全一致。

分块矩阵乘法并没有改变矩阵的本质，只是通过分块的方式将大矩阵的乘法分解为若干小矩阵的运算。这些分块的加权求和方式，正是大矩阵逐元素计算的核心操作，分块的计算只是运算顺序上的调整，不影响结果。

示例

设 $A$ 和 $B$ 是 $8 \times 8$ 矩阵，可以分块为：

$$A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}.$$

无论是直接计算 $A \times B$，还是用分块形式按照规则计算，每个元素的结果会完全一致。