转置

矩阵$A$的转置是另一个矩阵$A^T$, 由下列等价动作建立：

• 把$A$的行写为$A^T$的列
• 把$A$的列写为$A^T$的行
  形式上说，$m × n$矩阵$A$的转置是$n × m$矩阵

性质

逆运算

转置是自身的逆运算。

$$(A^T)^T = A$$

与矩阵加法的关系

转置是从 $m \times n$ 矩阵的线性空间到所有 $n \times m$ 矩阵的线性空间的线性映射, 因此满足分配律。

$$(A + B)^T = A^T + B^T$$

与矩阵乘法的关系

注意因子反转的次序

$$(AB)^T = B^T A^T$$

相对容易地把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出

$$(ABC \ldots XYZ)^T = Z^T Y^T X^T \ldots C^T B^T A^T$$

与求逆运算的关系

当且仅当 $A^T$ 是可逆矩阵，在这种情况下有 :

$$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$$

与标量乘法的关系

标量的转置是同样的标量。

$$(cA)^T = cA^T$$

与行列式运算的关系

• 矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。

$$\det(A^T) = \det(A)$$

表示列向量的内积

两个列向量 $a$ 和 $b$ 的内积可计算为：

$$a \cdot b = a^T b$$

其他性质

• 如果 $A$ 只有实数元素，则 $A^T A$ 是半正定矩阵。
• 如果 $A$ 是在某个域上，则 $A$ 相似于 $A^T$