转置

矩阵$A$的转置是另一个矩阵$A^T$, 由下列等价动作建立：

把$A$的行写为$A^T$的列 把$A$的列写为$A^T$的行 形式上说，$m × n$矩阵$A$的转置是$n × m$矩阵

• 转置是自身的逆运算。$$(A^T)T = A$$

• 转置是从 $m \times n$ 矩阵的线性空间到所有 $n \times m$ 矩阵的线性空间的线性映射。$$(A + B)^T = A^T + B^T$$

• 与矩阵乘法的结合律, 注意因子反转的次序$$(AB)^T = B^T A^T$$

  • 由此可推出方阵 $A$ 是可逆矩阵，当且仅当 $A^T$ 是可逆矩阵，在这种情况下有 $$(A^{-1})T = (A^T)$$
  • 相对容易地把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 $$(ABC \ldots XYZ)^T = Z^T Y^T X^T \ldots C^T B^T A^T$$

• 标量的转置是同样的标量。$$(cA)^T = cA^T$$

• 矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。

$$\det(A^T) = \det(A)$$

• 两个纵列向量 $a$ 和 $b$ 的内积可计算为：$$a \cdot b = a^T b$$
• 如果 $A$ 只有实数元素，则 $A^T A$ 是半正定矩阵。
• 如果 $A$ 是在某个域上，则 $A$ 相似于 $A^T$