代数余子式

对于矩阵 $A$ 的每个元素 $a_{ij}$，其代数余子式 $C_{ij}$ 定义为位置系数 $(-1)^{i+j}$ 与对应余子式 $M_{ij}$ 的乘积。

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

Example

$$B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}$$

今将计算余因子 $C_{23}$。余子式 $M_{23}$ 是在 $B$ 中去掉第 2 行与第 3 列后所得子行列式：

$$M_{23} = \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdot\\ b_{31} & b_{32} & \cdot \end{vmatrix} = b_{11} b_{32} - b_{31} b_{12}$$

所以，余因子 $C_{23}$ 为：

$$C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot M_{23} = - (b_{11} b_{32} - b_{31} b_{12}) = b_{31} b_{12} - b_{11} b_{32}$$