几何级数示例

函数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ 在 $|x|<1$ 是一个几何级数的和函数，可以通过其基本性质直接求出其麦克劳林展开。麦克劳林展开实际上是泰勒展开在 $x = 0$ 处的特殊情形。对于 $\frac{1}{1-x}$，我们可以通过直接将其视为无穷级数来进行展开，前提是 $|x| < 1$ 以确保级数收敛。

这里的级数是几何级数的形式，其求和公式为：

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad \text{for } |x| < 1.$$

级数的项是 $x^n$，泰勒系数则是乘在 $x^n$ 前的常数 1；项与系数不能混用。由于泰勒系数是函数在展开点（此处为0）的 $n$ 阶导数除以 $n!$，我们来计算这些导数：

1. 零阶导数（即函数本身）：

$$f(x) = \frac{1}{1-x}$$

2. 一阶导数：

$$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$$

当 $x=0$ 时，$f'(0) = 1$。

3. 二阶导数：

$$f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3}$$

当 $x=0$ 时，$f''(0) = 2$。

4. 三阶导数：

$$f'''(x) = \frac{6}{(1-x)^4}$$

当 $x=0$ 时，$f'''(0) = 6$。

5. 一般地，$n$ 阶导数：

$$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$$

因此，当 $x=0$ 时，$f^{(n)}(0) = n!$。

利用泰勒级数的定义：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$$

这个级数正是几何级数的表达形式，因此，我们得到函数 $\frac{1}{1-x}$ 在 $|x| < 1$ 时的麦克劳林展开为：

$$f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n.$$

这是一个在 $|x| < 1$ 内收敛的无穷级数，是 $\frac{1}{1-x}$ 在 $x=0$ 处的泰勒（麦克劳林）展开。